Mecánica y Ondas. Esquemas de teoría para problemas Chantal Ferrer Roca OSCILADOR ARMONICO - oscilador armónico simple (O.A.S.) Es un modelo de gran utilidad en la descripción de fenómenos físicos, descrito por la ecuación ωo pulsación o frecuencia angular diferencial: Ψ magnitud cualquiera (distancia, (radianes/segundo) propia del sistema ángulo, carga eléctrica, función de Ψ&& + ω 2Ψ = 0 (ωo=2π/τ, τ período) ondas...). EJEMPLOS en los que el OAS es un buen modelo F k x equil. MASA CON RESORTE m x Si los desplazamientos x respecto a la posición de equilibrio son pequeños, se cumple la ley de Hooke: F=-kx=m &x& Ec. movimiento: &x& + k x=0 m x(t)=xmcos(ωt+φ) OAS con ω o = k m PÉNDULO SIMPLE de longitud l F=-mgsinθ=ml θ&& ; θ l θ&& +ω02 sinθ = 0 si θ<< (pequeños desplazamientos respecto al equilibrio), sinθ≈θ x lθ x equil. -mg Ec. movimiento g l θ&&+ θ = 0 θ(t)=θmcos(ωt+φ) OAS con ω o = εL CIRCUITO LC di ε L = -L = − Lq&& ; dt L i C Ec. movimiento: εC Solución de la ecuación: cualquiera de las siguientes expresiones: εC = q&& + q ; C g l ambas ddp son iguales εC=εL 1 q =0 LC q(t)=qmcos(ωt+φ) OAS con ω = o 1 ; LC Ψ (t)=Asin(ω t+ φ) A φ= 0 Ψ(t) = B1 eiω 0 t + B2 e − iω 0 t Ψ(t) = C1 cosω 0 t + C 2 sin ω 0 t Ψ(t) = Bcos(ω 0 t + φ) 0 Ψ(t) = A sin(ω 0 t + φ) C1 = B1 + B2 ; C 2 = B1 − iB2 C1 = A cosφ; C 2 = A sin φ -A 0 π 2π 3π ω t (rad) A amplitud del movimiento y φ fase inicial. Mecánica y Ondas. Esquemas de teoría para problemas Chantal Ferrer Roca OSCILADOR ARMONICO amortiguado Existen fenomenos disipativos que producen un amortiguamiento de la oscilación. Un buen modelo consiste en suponerlos originados por una fuerza proporcional a la primera derivada (de tipo viscoso, F=-bv en el caso de ser Ψ=x posición). La ecuación diferencial del oscilador contiene un nuevo término: Ψ&& + 2 βΨ& + ω 02Ψ = 0 Ecuación: 1 factor de amortiguamiento; 2τ r τ r tiempo de relajación β= CASOS: 1.OSCILATORIO amortiguado: ω 0 > β ω' = ω 0 − β ; siendo ω' > β 2 Ψ ( t ) = e − βt ( A1e iω' t + A2 e −iω' t ) ↑ ↑ amortiguamiento pulsación del oscilador de la amplitud amortiguado distinta de la pulsación propia ω' = ω' τ r 2β - 0 .5 -1 ω0 = β La amplitud tiende a 0 asintóticamente Ψ ( t ) = Ae − βt ( A1 + A2 t ) 0 200 -β t 400 600 ω t(d ( A1e + A2 e 0 .8 s o b re am o rtigu am ien to (β > ω ) 0 .6 0 − ωt am o rtigu a m ien to critico (β = ω ) 0 .2 ω 2 = β 2 − ω02 ωt 1 0 .4 b) sobreamortiguado: ω 0 < β − βt (a.u.) periódica Ψ (t ) = e Ae decremento logarítmico 2.APERIÓDICO: No hay oscilación a) crítico: 0 factor de calidad 2πβ π = δ= ω' Q c o s ( ω t) 0 .5 Ψ ( t ) = Ae − βt cos( ω' t + φ ) Q= -β t 1 (a.u.) haciendo 2 2 Ψ (t)= A e ) Ψ ( t ) = Ae − βt cosh( ω' t + φ ) 0 5 10 15 20 25 t(s) Mecánica y Ondas. Esquemas de teoría para problemas Chantal Ferrer Roca OSCILADOR ARMONICO forzado Existe un mecanismo que suministra energía al sistema, compensando las pérdidas por disipación. Ψ&& + 2 βΨ& + ω 02Ψ = Ecuación: Fext m Ec. dif. no homogénea Ψ = Ψh + Ψp Solución: solución transitoria solución de la ec. homogénea (oscil. amortiguado) solución forzada (una solución particular que cumpla la ecuación). Es la única solución para t>>τr CASOS según el tipo de fuerza aplicada: 1. TIPO ARMÓNICO Fext=F0sin(ωFt) D( ω F ) (a.u.) 0.05 solución: Ψ p = D( ω F ) sin( ω F t + δ ) ; función F0 /m D(ω F ) = lorentziana 2 2 2 2 (ω 0 − ω F ) + (2 βω F ) δ ( ω F ) = tg −1 β = 0 .1 , Q =100 ω =20 rad/s β = 1 , Q=10 0 0.04 β = 2 , Q =5 β = 1 0, Q =1 0.03 − 2γω F ( ω 02 − ω 2F ) D 0.02 D max max ∆ω 2 ω R = ω 2 − 2 β 2 freq. resonancia, 0 0.01 D(ωR)=Dmax ω tiempo de relajación τ = (2β)−1 factor de calidad Q = ω R 2β si β<< ω0, ωR≈ ω0 y 2 β ≈ ∆ω =[anchura para Dmax ] 0 10 15 R 20 25 30 ω (rad/s) F 2 2. COMBINACIÓN LINEAL de fuerzas de tipo armónico Fext = ∑ ci Fi ( t ) i es aplicable el principio de superposición: si Ψi es solución de Fi, la solución general es la combinación lineal de soluciones Ψ p ( t ) = ∑ ciΨ pi ( t ) i 2 ( Si L = d + a d + b ): dt 2 dt L(Ψ p ( t )) = L( ∑ cΨ i i ( t )) = ∑ ci L(Ψ i ( t )) = ∑ ci Fi ( t ) = Fext ) i i i 3. FUNCIÓN PERIÓDICA F(t+τ)=F(t)→ teorema de Fourier: F(t) se puede representar mediante una serie de términos armónicos, y se aplica lo dicho en el punto 2.(ver esquema de series de Fourier): ∞ Fext ( t ) = ∑ Fn cos( nωt + φ n ) n =0 siendo ω=2π/τ la pulsación fundamental Mecánica y Ondas. Esquemas de teoría para problemas Chantal Ferrer Roca ANALISIS DE FOURIER TEOREMA DE FOURIER: Una función periódica x(t) de período T se puede escribir como la suma de sus componentes armónicas: x(t) = C 0 + C1 sin(ωt + φ1 ) + C2 sin(2ωt + φ 2 )+ ..... + Cn sin(nωt + φ n ) ∞ ω=2π/T frecuencia fundamental nω armónicos [1] x(t) = C 0 + ∑ C n sin(nωt + φ n ) o bien n =1 A menudo, usando que C n sin(nωt + φ n ) = C n cosφ n sin(nωt) + C n sin φ n cos(nωt) , el desarrollo en serie de la función x(t) se escribe como: ∞ ∞ a x(t) = 0 + ∑ a n cos(nωt) + ∑ b n sin(nω t) 2 n =1 n =1 donde C n = a n + b n ; φ n = tg −1 an bn a n = Cn sin φn ; b n = C n cosφ n Las funciones sin (nωt), cos (nωt) son ortogonales ya que se cumple que: (n,k=1,2,3....) T T T π ∫ sin(nωt) sin(kωt)dt = ∫ cos(nωt) cos(kωt)dt = ω δ nk y ∫ sin(nωt) cos(kωt)dt = 0 0 0 0 y, junto con el término constante a0/2 constituyen un sistema completo, de manera que la proyección de x(t) sobre cada una de estas funciones ortogonales proporciona la amplitud de la componente armónica correspondiente (de manera similar a la obtención de las componentes de un vector mediante la proyección de dicho vector sobre los vectores base): T 2 a n = ∫ x(t)cos(nωt) dt T0 T 2 bn = ∫ x(t)sin(nωt)dt T0 T con 1 a0 = C 0 = < x(t) > = ∫ x(t) dt valor medio de x(t) 2 T0 las siguientes relaciones son útiles: - si x(-t)=x(t) función par ∞ bn=0; x(t) = a 0 + ∑ a n cos(nωt) n =1 ∞ -si x(-t)=-x(t) función impar an=0; x(t) = a 0 + ∑ bn sin(nωt) n =1 La representación de las amplitudes de las distintas componentes armónicas se denomina espectro y en este caso será de tipo discreto: Cn C3 C1 (figura 1) 1/T C2 C4 C5 Cn n/T f Mecánica y Ondas. Esquemas de teoría para problemas FIGURAS DE LISSAJOUS Chantal Ferrer Roca