enunciado

Probabilidad II
Tercero de Matemáticas UAM, curso 2007-2008
Examen final, 20-6-2008
Nombre y Apellidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. (1 punto) Calcula la media de la variable aleatoria Z = mı́n(U1 , U2 ) , donde U1 y U2 son
variables uniformes en [0, 1] independientes.
2.
(1 punto) Sean X1 e X2 dos variables aleatorias. Las dos tienen media 0 y sus desviaciones
tı́picas son σ1 y σ2 , respectivamente. Considera ahora la variable aleatoria Z = X1 + bX2 , donde
b ∈ R. La correlación entre X1 e X2 es ρ. ¿Qué valor de b hace que V(Z) sea mı́nima?
3.
(1,5 puntos) El resultado de un cierto experimento es una variable aleatoria que sigue una
exponencial de parámetro λ = 2. Vamos a repetir (en condiciones exactamente iguales, y de
manera independiente) el experimento N veces. Luego anotaremos los resultados obtenidos y
calcularemos la media aritmética.
¿A partir de qué valor de N podrı́amos asegurar que la media aritmética obtenida está entre
0,49 y 0,51 con probabilidad de, al menos, el 98 %?
4.
(2,5 puntos) (a) Sea (Un ) una sucesión de variables aleatorias idénticamente distribuidas
P
→0
(uniformes en [0, 1]), no necesariamente independientes. Sea Zn = Unn . Comprueba que Zn −
cuando n → ∞.
c.s.
(b) Supongamos ahora que las Un son independientes. ¿Es cierto que Zn −−→ 0 cuando n → ∞?
5. (1,5 puntos) Las variables Yj están normalizadas (tienen todas media µj = 0 y desviación
tı́pica σj = 1) y son independientes. ¿Es cierto que
n
1 P
j Yj −
→0?
n2
j=1
6.
(1,5 puntos) Sean X1 , X2 , . . . variables aleatorias i.i.d. finitas, todas con media µ. Comprueba que
X1 X2 + X2 X3 + X3 X4 + · · · + X2n X2n+1 c.s.
−−→ µ2 .
2n
7. (1 punto) Considera una sucesión de variables aleatorias i.i.d. (Yj ), donde cada Yj toma el
valor 2 con probabilidad 1/3 y el valor −1 con probabilidad 2/3. Considera ahora
Sn = a +
n
j=1
Yj .
a) Comprueba que la sucesión (Sn ) es martingala (con respecto a la filtración asociada a (Yj )).
b) Estamos en un juego en el que, en cada partida, se gana o se pierde la cantidad Yj . La fortuna
inicial es 0 < a < N . La variable Sn anterior recoge la fortuna acumulada hasta la jugada n.
Vamos a jugar hasta este juego hasta que
nos arruinemos;
o nuestra fortuna valga N ó N + 1;
o lleguemos a la partida M .
Comprueba que la probabilidad de tener éxito (llegar a la fortuna N ó N + 1) es menor o igual
que a/N .
Sugerencia: argumenta sobre ST (esto es, S parada en T ), el valor de la martingala en el
momento en que paramos el juego.
Notas y comentarios:
Algunos valores de la función de distribución de una variable aleatoria normal N (0, 1):
F (x)
=
x
1
F (x) = √
2π
x
−∞
2 /2
e−t
dt