Tema 4: Variables Aleatorias

Tema 4: Variables Aleatorias
Estadística. 4o Curso.
Licenciatura en Ciencias Ambientales
Licenciatura en Ciencias Ambientales (4o Curso)
Tema 4: Variables Aleatorias
Curso 2009-2010
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Índice
1
Concepto de Variable Aleatoria
2
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria
3
Independencia de Variables Aleatorias
4
Principales tipos de Variables Aleatorias
5
Media y varianza de una variable aleatoria
6
Otros parámetros de interés
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Concepto de Variable Aleatoria
Variable aleatoria
Habitualmente, cuando se lleva a cabo un experimento estadístico, nuestro interés no
se centrará directamente en los resultados del experimento, sino en ciertos valores
numéricos asociados a los mismos. Surge así el concepto de variable aleatoria:
Una variable aleatoria, X, es una aplicación que a cada elemento del espacio
muestral Ω le asocia un número real.
Ejemplos
Si lanzamos dos dados, puede que no nos interese la puntuación de cada dado,
sino la suma de las puntuaciones.
Si lanzamos cinco veces una moneda, puede que no nos interese qué ha salido en
cada lanzamiento, sino el número de caras.
Si elegimos un ratón al azar de una jaula llena de ratones, puede que no nos
interese qué ratón hemos elegido sino el peso del mismo.
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Distribución de Probabilidad de una Variable Aleatoria
Distribución de Probabilidad
En un experimento aleatorio, no tenemos por qué conocer todos y cada uno de los
valores que va a tomar una variable aleatoria X.
Si sobre el espacio muestral Ω tenemos definida una probabilidad P, entonces
podemos definir la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X como las
probabilidades de los sucesos de Ω relacionados con la variable X.
Conociendo la distribución de probabilidad de X podemos calcular, por ejemplo,
la probabilidad de que X tome el valor 2 ( P(X = 2) ).
la probabilidad de que X sea menor o igual que 12 ( P(X ≤ 12) ).
la probabilidad de que X tome un valor entre 0.5 y 3.4 ( P(0.5 ≤ X ≤ 3.4) ).
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Independencia de Variables Aleatorias
Concepto de Independencia
Dos variables se dicen independientes si el valor que toma una de ellas no influye en
la distribución de probabilidad de la otra.
Ejemplo
En una urna tenemos 30 bolas, 10 numeradas con un 1, 10 numeradas con un 2 y 10
numeradas con un 3. Se extraen dos bolas y se definen las variables aleatorias X e Y
del siguiente modo:
X ≡ puntuación de la primera extracción
Y ≡ puntuación de la segunda extracción
Si las extracciones se producen reintegrando a la urna la bola sacada, X e Y son
independientes.
Por el contrario, si las extracciones se producen sin reemplazamiento, el valor de X
influye en la distribución de probabilidad de Y.
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Principales tipos de Variables Aleatorias
Variables aleatorias discretas
Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar una serie de valores muy
concretos (una cantidad finita de valores o que al menos puede ser numerada).
Si x1 , x2 , . . . son sus posibles valores, su distribución de probabilidad queda
determinada por las probabilidades
P(X = xi ) i = 1, 2, . . .
Variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor dentro de un rango
o intervalo de números reales.
Su distribución de probabilidad queda determinada por una función de densidad
f (x) ≥ 0. Las probabilidades relacionadas con X son las áreas que quedan por debajo
de la curva que representa a f (x) y por tanto se calculan mediante integrales definidas:
Z
a
P(X ≤ a) =
Z
f (x)dx
,
P(a ≤ X ≤ b) =
−∞
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b
f (x)dx
,
P(X = a) = 0
a
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Media y varianza de una variable aleatoria
Media poblacional (µ)
La media de la variable aleatoria X es el centro de gravedad de la distribución de
probabilidad de X:
n
X
Si X discreta: µ = x1 P(X = x1 ) + · · · + xn P(X = xn ) =
xi P(X = xi )
i=1
Z
∞
xf (x)dx
Si X continua: µ =
−∞
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Media y varianza de una variable aleatoria
Varianza poblacional (σ 2 ) y desviación típica poblacional (σ)
La varianza de la variable aleatoria X mide la dispersión de la distribución de
probabilidad de X en torno a µ:
n
X
Si X discreta: σ 2 =
(xi − µ)2 P(X = xi )
i=1
2
Z
∞
Si X continua: σ =
(x − µ)2 f (x)dx
−∞
Las unidades en que se mide σ 2 son las de la variable X elevadas al cuadrado, por lo
que su interpretación puede inducir a error.
√
Por ello se suele utilizar como medida de dispersión la desviación típica, σ = σ 2 ,
que viene expresada en las mismas unidades que la variable X.
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Otros parámetros de interés
Cuantiles (xα )
Nos interesarán en variables aleatorias continuas.
Dado un valor α tal que 0 < α < 1, se define el cuantil de orden α de la distribución
de probabilidad de la variable aleatoria X como el número real, xα , que es superado
por X con probabilidad α, es decir, que verifica que
Z ∞
f (x)dx = α
P(X ≥ xα ) =
xα
La letra x se sustituirá en cada caso por el símbolo que caracterice a la
distribución de probabilidad de X.
El cuantil de orden 0.5 es la mediana de la distribución de probabilidad de X.
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Otros parámetros de interés
Cuantiles
Gráficamente, el cuantil de orden α es el número real que, en la gráfica de la función
de densidad, deja a su derecha un área de α. Por esto se le denomina a veces cuantil
por la derecha. Como ejemplo, podemos ver en el gráfico un cuantil de una
distribución llamada chi-cuadrado:
α
2
χn,αα
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