Matemática IV Práctica I. Números Enteros. Aritmética Modular

Matemática IV
Práctica I. Números Enteros. Aritmética Modular
1. Demostrar por inducción
n
X
i=
i=0
n(n + 1)
2
2. La sucesión de Fibonacci. Consideremos la sucesión {a0 , a1 , a2 , · · ·} definida como:
a0 = 1
a1 = 1
an+2 = an + an+1
Demostrar por inducción que el término general de la sucesión es
"Ã
√ !n #
√ !n Ã
1
1− 5
1+ 5
an = √
−
2
2
5
3. Probar que la relación de divisibilidad satisface, ∀n:
a) n|n. (Reflexibidad)
b) n1 |n2 =⇒ n2 No divide a n1 . (Antisimetrı́a)
c) Si n1 |n2 y n2 |n3 , entonces n1 |n3 . (Transitividad)
4. Calcular, mediante factorización y mediante el algoritmo de Euclides
a) (122,700)
b) (715,680)
c) (1510,200)
d) (3742,843)
e) (120,360)
f) (458,2290)
5. Demuestre que si (a, b) = 1, entonces, (a − b, a + b) = 1 o 2
6. Demostrar que si ax + by = m, entonces (a, b)|m.
7. Demostrar que si (b, c) = 1, entonces para todo positivo a, se tiene que (a, bc) = (a, b)(a, c)
8. Demostrar que para dos enteros a y b se cumple:
[a, b] =
9. Calcular
a) [12, 28]
b) [120, 50]
c) [15, 31]
ab
(a, b)
d) [180, 90]
10. Demostrar para un número primo p, si p|(a b) entonces p|a o p|b
11. Probar que si n no es primo, entonces n tiene un divisor primo menor o igual a
√
n
12. Usando el ejercicio anterior, implemente un algoritmo computacional para determinar si
un número es o no primo.
13. Determinar cuales de los siguientes números son primos
a) 31
b) 1009
c) 11157
d) 11111
e) 823
14. Sean a = pα1 1 pα2 2 ...pαnn y b = pβ1 1 pβ2 2 ...pβnn . Probar que
(a, b) = pδ11 pδ22 ...pδnn
[a, b] = pγ11 pγ22 ...pγnn
donde los δj = mı́n{αj , βj } y γj = máx{αj , βj }.
14. Resolver las siguientes ecuaciones de congruencia
a. 12 x ≡ 7 mod 17
b. 11 x ≡ 7 mod 84
c. 18 x ≡ 1 mod 25