Cálculo I 0.5cm Tema 8: Cálculo de límites. 2pt Criterios de Stolz

Cálculo I
Tema 8: Cálculo de lı́mites.
Criterios de Stolz,
de la media aritmética y
de la media geométrica.
Criterio de Stolz
El siguiente resultado permite resolver algunas indeterminaciones del tipo
∞
.
∞
Criterio de Stolz
Sean {an } y {bn } sucesiones de números reales. Supongamos que {bn } es una
sucesión estrictamente creciente y divergente. Supongamos que
L ∈ R ∪ {+∞} ∪ {−∞}. Entonces
n+1 − an
na
bn+1 − bn
o
→L ⇒
n
an
bn
o
→ L.
El resultado anterior puede aplicarse en caso de que {bn } = {n}. Obtenemos
entonces:
Criterio de la media aritmética
Sea {an } una sucesión de números reales convergente a un número real a,
entonces
n Pn a o
i=1 i
→ a.
n
El resultado anterior es cierto también en caso de que {an } → +∞ o
{an } → −∞.
El recı́proco de ninguno de los resultados anteriores es cierto.
Sucesiones dadas por raı́ces
Proposición
Sea a ∈ R+ , entonces
√
n
a → 1.
Lema
Si xn ∈ R+para todo
n ∈ N y la sucesión {xn+1 /xn } está acotada, entonces
√ la sucesión n xn también está acotada y se verifica que:
lı́m inf
nx
n+1
xn
o
6 lı́m inf
√
n
√
n
xn 6 lı́m sup
xn 6 lı́m sup
nx
n+1
xn
o
Sucesiones dadas por raı́ces
Criterio de la raı́z para sucesiones
Si xn ∈ R+ para todo n ∈ N y la sucesión
√ sucesión n xn converge a L.
Si
nx
n+1
xn
o
→ +∞, entonces
√
n
nx
n+1
xn
o
converge a L, entonces la
xn → +∞.
Criterio de la media geométrica
Sea {yn } una sucesión de números reales positivos y consideremos la sucesión
definida por
v
u n
uY
n
gn = t
yk =
√
n
y1 y2 . . . yn ,
∀ n ∈ N.
k=1
Si {yn } → L ∈ R , entonces {gn } → L .
Análogamente, si {yn } → +∞ , entonces también {gn } → +∞ .