Segundo examen

Departamento de Matem
aticas
Introduccion al Analisis Matematico
Segundo examen
enero de 2001
1.– (a) (0,25 p) Enuncia la condición de Cauchy.
(b) (0,75 p) Prueba que una sucesión en R es de Cauchy si y sólo si es convergente.
cos nπ
(c) (1 p) Estudia si la sucesión (xn )n dada por xn =
, n ≥ 1, verifica la condición de Cauchy.
n
√ √
√ 2.– (0,5 p) Estudia si limn n n + 1 − n existe, hallando, si procede, su valor.
1/n
3.– (1 p) Halla limn (an + bn )
, para 0 < a < b.
4.– (a) (0,25 p) Define el lı́mite finito de una sucesión real (xn )n .
(b) (0,75 p) Prueba que an → a si y sólo para cada k ∈ N existe un nk ∈ N tal que |an − a| <
1
si n ≥ nk .
k
5.– (0,5 p) Sea bn → b 6= 0, prueba que existe n0 ∈ N tal que |bn | > |b|/2, n ≥ n0 .
6.– (1 p) Sea (an )n en R+ tal que an → 0, prueba que lim
|bn |
= +∞, para cualquier sucesión acotada (bn )n .
an
(¿Será falso?, pues encuentra un contraejemplo).
7.– (1,5 p) Sea a > 0, prueba que si axn → 1 entonces xn → 0.
8.– (a) (0,25 p) Enuncia la Regla de Stolz.
(b) (0,75 p) Prueba que si limn xn = l (finito o infinito) entonces
lim
n
√
x1 + · · · + xn
= l = lim n x1 · · · xn .
n
n
(Para la segunda igualdad se supone que xn > 0, n ≥ 1).
9.– (1 p) Enuncia y demuestra el teorema de Bolzano–Weierstrass.
10.– Sea la sucesión (xn )n dada por xn+1 =
x3n + 2
, n ≥ 1, siendo 0 < x1 < 1.
7
(a) (0,25 p) Prueba que 0 < xn < 1, n ≥ 1.
(b) (1,25 p) Prueba que (xn )n es contractiva.
1
1
1
11.– (1,5 p) Halla limn
+
+ ··· +
.
1·2 2·3
n(n + 1)
12.– Considera la sucesión (xn )n dada por xn =
1
1
1
+
+ ··· +
, n ≥ 1.
n+1 n+2
2n
(a) (1 p) Estudia si (xn )n es monótona.
(b) (0,5 p) Estudia si (xn )n es acotada.
(c) (1,25 p) Prueba que el lı́mite de (xn )n , si existe, es menor o igual a 1 y mayor o igual a 1/2.
¿Qué la suma de los puntos no da 10? Pues elı́gelos adecuadamente.