Leyes de los grandes números (Fichero pdf)

LEYES DÉBILES DE LOS GRANDES NÚMEROS
Ley débil de Bernoulli (1er resultado lı́mite, 1713)
Sea {Xn } una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, Xn ∼ B(1, p). Entonces
µ
¶
Sn − ESn P
Sn P
−→ 0
−→ p
n
n
O sea, toda sucesión de variables aleatorias i.i.d. e indicadoras (B(1, p)) satisface la
LEY DÉBIL. Este resultado fué probado por Bernoulli mediante cálculos directos de
los lı́mites. Aquı́ lo vamos a probar mediante la desigualdad de Chebychev. Dado que
Sn ∼ B(n, p)
¯
½¯
¾
¯ Sn − np ¯
np(1 − p)
VarSn
¯
¯
P ¯
=
−→ 0,
¯ ≥ ² = P {|Sn − np| ≥ n²} ≤
2
2
n→∞
n
n²
n2 ²2
∀² > 0
Notemos que la demostración es válida para cualquier sucesión de variables aleatorias
i.i.d. con varianza finita.
INTERPRETACIÓN: Establece la convergencia (en probabilidad) de la sucesión de frecuencias relativas de ocurrencias de un suceso (Sn /n) a su probabilidad, p, cuando se
realiza una serie indefinida de experiencias independientes (definición frecuentista de
probabilidad (Von Mises)).
Ley débil de Khintchine (1928)
Sea {Xn } una sucesión de variables aleatorias i.i.d con EXi = µ. Entonces
Sn − ESn P
−→ 0
n
µ
Sn P
−→ p
n
¶
Esta ley no exige que las varianzas de las variables existan, luego no puede probarse como la anterior. Se probará posteriormente, cuando en el Problema Central del Lı́mite
probemos que
Sn L
−→ µ
n
y, como µ es constante, se tiene también la convergencia en probabilidad.
TODA SUCESIÓN DE V. A. I.I.D. CON MEDIA FINITA satisface la ley débil.
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LEYES FUERTES DE LOS GRANDES NÚMEROS
Ley fuerte de Borel
{Xn } i.i.d B(1, p). Entonces
µ
¶
Sn c.s.
Sn − ESn c.s.
−→ 0
−→ p
n
n
Esta es, históricamente, la primera ley fuerte y supone un reforzamiento de la ley débil
de Bernoulli, estableciendo la convergencia casi segura de las frecuencias relativas de
ocurrencias de un suceso a su probabilidad cuando se realiza una serie indefinida de
experiencias independientes.
El resultado clásico más importante es el siguiente, debido a Kolmogorov, que proporcionó una condición necesaria y suficiente para el cumplimiento de la ley fuerte por una
sucesión de v.a. i.i.d..
Ley fuerte de Kolmogorov
{Xn } i.i.d. Entonces
EXn = µ < ∞ ⇐⇒
2
Sn c.s
−→ µ
n