1. Se dan los primeros términos de una sucesión n=1. Suponiendo

ANÁLISIS MATEMÁTICO I. HOJA 8
1. Se dan los primeros términos de una sucesión {an }∞
n=1 . Suponiendo
que la sucesión prosigue como se indica, hallar una fórmula explı́cita
para an .
3
4
5
b) − 14 , 29 , − 16
, 25
, − 36
...
a) 1, − 13 , 51 , − 17 , 19 . . .
2. ½
Determinar
siguientes
son ½
monótonas
¾∞si las sucesiones
½
¾∞
¾∞ o acotadas
n
2
a) n+(−1)
b) (n+1)
c) 4n2n+1
n
n2
n=1
n=1
n=1
3. Demostrar que la sucesión {5n /n!} decrece a partir de n = 5.
4. Sea {an }∞
n=1 , la sucesión definida recursivamente por a1 = 1
y an+1 = 2an + 1, para todo n ≥ 1. Demostrar por inducción que
an = 2n − 1.
5. Sea {an }∞
n=1 , la sucesión definida recursivamente por a1 = 1,
√
an = 1 + an−1 , para todo n ≥ 2. Mediante inducción, probar que
a) es una sucesión creciente,
b) está acotada superiormente.
Calcular el lı́mite de la sucesión. Sugerencia: Tomar lı́mites en la
fórmula que define la sucesión.
6. a) Demostrar que si 0 < a < 2, entonces a <
b) Demostrar que la sucesión
r q
q
√
√
√
2, 2 2, 2 2 2, . . .
√
2a < 2.
converge.
c) Hallar su lı́mite.
7. Decidir si la sucesión converge o no y, en caso afirmativo, hallar
su lı́mite.
½√
¾∞
n sen (en π)
{n2 sen (nπ)}∞
{2 log(3n)−log(n2 +1)}∞
n=1
n=1
n+1
n=1
½
½µ
½ Z n+1
¾∞
¾∞
¶n2 ¾∞
π
x
2
−x2
n sen
1+
e
dx
.
n n=1
n
n
n=1
n=1
1
2
ANÁLISIS MATEMÁTICO I. HOJA 8
P
P
8. Sea
ak una serie de términos no negativos. Sea
bk una serie
de términos positivos yP
supongamos que ak /bk →
P0.
a) Demostrar que si P bk converge, entoncesP ak converge.
b) Demostrar que si
ak diverge, entoncesP bk diverge.
c)
Mediante
un
ejemplo,
demostrar que si
ak converge, entonces
P
bk puede converger o diverger.
P
d)
bk diverge, entonces
P Demostrar mediante un ejemplo que si si
ak puede converger o diverger.
9. Demostrar que las series siguientes divergen
¶k
∞ µ
∞
X
X
k+1
k k−2
,
.
k
3k
k=1
k=2
10. Determinar si las siguientes series convergen o divergen
∞
∞
∞
X
X
X
k
arctan k
1
,
,
,
3+1
2
k
1
+
k
k
log
k
k=1
k=1
k=2
∞
X
k=1
k2
,
k4 − k3 + 1
∞
X
2 + sen k
k=1
k2
,
∞
X
2 + cos k
√
.
k+1
k=1
11. Determinar si las series siguientes convergen o divergen
µ ¶k
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
2
(k!)2
k!
10k
k
,
,
,
,
k!
3
(2k)!
kk
k=1
k=1
k=1
k=1
1+
1·2 1·2·3 1·2·3·4
+
+
+ ···
1·3 1·3·5 1·3·5·7