Tarea 3

Departamento de Matemática,
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Tarea 3
1) Muestre que cualguier espasio métrico es espasio topológico normal.
2) Demuestre las siguentes propiedades:
1. si existe el lı́mite x de una sucesión el un espasio métrico, entonses este lı́mite es unico,
2. si una sucesión converge, entonces qualquier su subsucesión converge a lo mismo lı́mite,
3. Sea M es un subconjunto de de un espacio métrico X. Un punto x ∈ X es el punto lı́mite para
M, si y solo si existe una sucesión de los elementos disjuntos que converge a x.
3) Pruebe que conjunto de los puntos de primer orden de conjunto de Cantor (terminos de los intervalos)
es denso en conjunto de Cantor.
4) Sean A y B ab’ertos en (R1 , | · |). Muestre que A × B es ab’erto en (R2 , ρ2 ). Si A y B son cerrados,
qual es A × B? Por qué?
5) Muestre que si A es abierto en (Rn , ρp ) entonces es abierto en (Rn , ρp0 ).
6) Sea f : R → R una función continua. Pruebe, que {x : f (x) > 0} es abierto en R and {x : f (x) > 0}
es cerrado.
7) Construe un ejemplo de un conjunto infinito cerrado en R que contiene solamente los puntos irracionales. Existe o no un conjunto abierto que no contiene puntos racionales. Por qué?
∞
P
8) Para p ∈ [1, ∞[ definimos lp como colección de las sucesiones reales x = {xn } tales que
|xn |p < ∞.
n=1
(k)
Sea e(k) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), donde 1 esta el k-esima lugar. Muestre que el conjunto {e
un conjunto cerrado en (l1 , ρ1 ).
1
n, n
9) Muestre que el conjunto A = {x ∈ l2 : |xn | ≤
B = {x ∈ l2 : |xn | < n1 , n = 1, 2, . . .} no es abierto.
: k ≥ 1} es
= 1, 2, . . .} es un conjunto cerrado en l2 , pero
10) Pruebe, que si una sucesión de Cauchy contiene una subsucesión convergente, entonces la sucesión
de Cauchy tambien converge.
10) Dos métricas d y ρ son equivalentes si d(xn , x) → 0 si y solo si ρ(xn , x) → 0. Verifique si las métricas
ρ1 , ρ2 y ρmax son equivalentes?
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