Soluciones

Problemas
Introducción al análisis
Tarea 7
Fecha de entrega: Martes 23 de marzo de 2004
Problema 1. Sean f, g : D → R dos funciones uniformemente continuas. Demuestra que
f + g : D → R es uniformemente continua. ¿Qué conclusión puedes obtener de f g?
Demostración. Dado ε > 0, existen δ1 , δ2 > 0 tales que |x−y| < δ1 implica |f (x)−f (y)| < ε/2
y |x − y| < δ2 implica |g(x) − g(y)| < ε/2, porque f y g son uniformemente continuas. Si
δ = mı́n{δ1 , δ2 }, entonces |x − y| < δ implica
ε ε
| f (x) + g(x) − f (y) + g(y) | ≤ |f (x) − f (y)| + |g(x) − g(y)| < + = ε.
2 2
La multiplicación de dos funciones uniformemente continuas no es uniformemente continua. Sea, por ejemplo, f : R → R dada por f (x) = x. Entonces f es uniformemente continua,
pero g : R → R dada por g(x) = f (x)2 = x2 no lo es.
Problema 2. Demuestra que la función f : (1, 2) → R dada por f (x) = 1/x es uniformemente continua.
Demostración. Dado ε > 0, tomamos δ = ε. Entonces, si |x − y| < δ, tenemos que
1 1 |x − y|
< |x − y| < δ = ε,
− =
x y
xy
porque, como x, y ∈ (1, 2), xy > 1.
Problema 3. Sea E ⊂ R. Demuestra que E es cerrado si, y sólo si, para toda sucesión en
E que converge su lı́mite está en E, es decir, xn ∈ E y xn → x0 implican que x0 ∈ E.
Demostración. Suponemos primero que E es cerrado, y sea xn ∈ E un sucesión que converge,
digamos, a x0 . Si x0 = xn para algún n, entonces claramente x0 ∈ E. Si x0 6= xn para todo
n, entonces (xn ) es una sucesión de puntos en E, distintos de x0 , que converge a x0 , por lo
que concluı́mos que x0 es un punto de acumulación de E. Como E es cerrado, x0 ∈ E.
Suponemos ahora que si xn ∈ E y xn → x0 , entonces x0 ∈ E. Para demostrar que E es
cerrado, suponemos que x es un punto de acumulación de E. Entonces, existe una sucesión
xn ∈ E, xn 6= x, tal que xn → x. Nuestra hipótesis implica, entonces, que x0 ∈ E.
Problema 4. Sean f, g : [a, b] → R continuas. Demuestra que el conjunto
{x ∈ [a, b] : f (x) = g(x)}
es cerrado.
Demostración. Demostraremos que su complemento, U = {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g(x)}, es
abierto. Sea entonces x0 ∈ U . Como f (x0 ) 6= g(x0 ), ε = |f (x0 ) − g(x0 )| > 0. Tomamos δ > 0
tal que |f (x) − f (x0 )| < ε/2 y |g(x) − g(x0 )| < ε/2, lo cual es posible porque f y g son
continuas en x0 . Entonces, si |x − x0 | < δ,
|f (x) − g(x)| = |f (x) − f (x0 ) + f (x0 ) − g(x0 ) + g(x0 ) − g(x)|
≥ |f (x0 ) − g(x0 )| − |f (x) − f (x0 )| − |g(x0 ) − g(x)|
ε ε
> ε − − = 0,
2 2
por lo que |x − x0 | < δ implica f (x) 6= g(x). Entonces (x − δ, x + δ) ⊂ U y, por lo tanto, U
es abierto.
Problema 5. Encuentra una cubierta del conjunto [a, ∞) que no tenga subcubiertas finitas.
Demostración. La colección A = {(a − 1, a + n) : n ∈ N} es una cubierta de [a, ∞) sin
subcubiertas finitas: Si (a − 1, a + n1 ), . . . , (a − 1, a + nK ) ∈ A, entonces
K
[
(a − 1, a + ni ) = (a − 1, a + M ) 6⊃ [a, ∞),
i=1
donde M = máx{n1 , . . . , nK }.
2