3.2. Teoremas de Dini

63
3.2. TEOREMAS DE DINI
3.2.
Teoremas de Dini
Definición 3.11. Sea X un espacio métrico y {f n } una sucesión en C(X). Decimos que la
sucesión {fn } es monótona en n si para todo x ∈ X se cumple f n (x) ≤ fn+1 (x), n ≥ 1, o bien
para todo x ∈ X se cumple fn+1 (x) ≤ fn (x), n ≥ 1.
Teorema 3.12 (Dini). Sea X un espacio métrico compacto y {f n } una sucesión de funciones
monótona en C(X) que converge puntualmente a una función continua f ∈ C(X). Luego la
convergencia es uniforme.
Demostración. Sin pérdida de generalidad supondremos que para todo x ∈ X, f n+1 (x) ≤
fn (x). Sea ε > 0. Para cada n definimos el abierto
An := {x ∈ X : fn (x) < f (x) + ε}.
Notemos que An ⊂ An+1 . Además, la convergencia puntual de f n a f implica que X =
Luego, por la compacidad de X, existe un N tal que
N
[
X=
S
n∈N
An .
Ak .
k=1
Entonces X = AN y
fn (x) − f (x) < ε,
para todo x ∈ X, si n ≥ N . Por otra parte, es obvio que f (x) ≤ f n (x) para todo x ∈ X y n.
Por lo tanto, fn → f uniformemente.
Ejemplo. En este ejemplo presentaremos una sucesión de funciones mónotonas definidas en
un compacto, que no converge uniformemente a ninguna función continua.
Consideremos el espacio métrico compacto
X = [0, 1] con la métrica inducida por (R, | · |)
y la sucesión de funciones continuas f n (x) =
1 − xn . Esta es una sucesión monótona con
fn (x) ≤ fn+1 (x) para todo x ∈ [0, 1] y n.
Además, esta sucesión converge puntualmente
en [0, 1] a una función discontinua
f (x) =
1 si 0 ≤ x < 1
0 si x = 1
Luego, la sucesión {fn } no converge uniformemente a ninguna función real continua definida
sobre [0, 1].
Teorema 3.13 (Dini). Sea {fn } una sucesión en C[0, 1] con todos sus términos funciones
monótonas. Supongamos que fn converge puntualmente a una función f ∈ C[0, 1]. Luego la
convergencia es uniforme.
Demostración. Sea ε > 0, luego existe δ > 0 tal que
|f (x) − f (y)| <
ε
32
si
|x − y| < δ
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CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME
Sea 0 =: x1 < x2 < · · · < xm := 1 una partición de [0, 1] tal que |x i+1 − xi | < δ/2 para
1 ≤ i ≤ m − 1. Notemos que existe un natural N tal que
sup |fn (xi ) − f (xi )| <
1≤i≤m
ε
32
si
n≥N
Por otra parte, para cada i = 1, 2, . . . m − 1 tenemos
|fn (xi ) − fn (xi+1 )| ≤ |fn (xi ) − f (xi )| + |f (xi ) − f (xi+1 )| + |f (xi+1 ) − fn (xi+1 )|
ε
si n ≥ N
<
3
Sea x ∈ [0, 1], luego x está en un intervalo de la forma [x i , xi+1 ]. Como las fn son monótonas
tenemos que |fn (x) − fn (xi )| < ε/3, cuando n ≥ N . Luego
|fn (x) − f (x)| ≤ |fn (x) − fn (xi )| + |fn (xi ) − f (xi )| + |f (xi ) − f (x)| < ε
si n ≥ N y x ∈ [xi , xi+1 ]. Por lo tanto, la sucesión {fn } converge a f uniformemente en
[0, 1].
3.3.
Teorema de Arzela-Ascoli
En esta sección estableceremos condiciones fácilmente verificables en algunos casos, que
implican que una collección de funciones continuas es un conjunto compacto en la métrica
uniforme.
Definición 3.14. Diremos que un espacio métrico es separable si tiene un subconjunto denso
numerable.
Ejercicio. Sea (X, ρ) un espacio métrico. Pruebe que X es separable si y sólo si tiene una base
numerable.
Lema 3.15. Todo espacio métrico X compacto es separable.
Demostración. Recordemos que como X es compacto, es totalmente acotado. Luego, para
cada n ∈ N existen mn puntos x1 , . . . , xmn tales que la unión de las bolas abiertas centradas
en ellos de radio 1/n es todo el espacio X. Si definimos A n := {x1 , x2 , . . . , xmn , entonces
D=
∞
[
An
k=1
es denso y numerable en X.
Ejercicio. Considere una familia F de funciones equicontinuas definidas en un compacto X.
Demuestre que F es una colección uniformemente equicontinua.
Lema 3.16. Sean (X, ρ) e (Y, σ) espacios métricos con Y completo. Sea {f n } una sucesión en
C(X, Y ). Supongamos que {fn : n ∈ N} es equicontinua y además que existe un subconjunto
D ⊂ X denso tal que fn (x) converge si x ∈ D. Luego existe una función f ∈ C(X, Y ) tal que
fn (x) converge puntualmente en X a f , y la convergencia es uniforme en compactos.
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3.3. TEOREMA DE ARZELA-ASCOLI
Demostración. Deberemos partir probando la existencia de la función f , para ello probaremos que dado x ∈ X la sucesión fn (x) es de Cauchy en Y . Sea ε > 0 y x ∈ X, entonces existe
δ > 0 tal que
sup σ(fn (x), fn (y)) <
n
ε
3
si
ρ(x, y) < δ
(3.4)
Como D es denso en X, existe y ∈ D tal que ρ(x, y) < δ y
σ(fn (x), fm (x)) ≤ 2 sup σ(fn (x), fn (y)) + σ(fn (y), fm (y)) < ε
n
para n, m suficientemente grandes, ya que f n (y) converge. Luego, para cada x ∈ X la sucesión
fn (x) es de Cauchy y, por la completud del espacio Y , podemos definir
f (x) = lı́m fn (x).
n→∞
Ahora, si queremos probar la continuidad de f en x ∈ X notemos que para cada y ∈ B(x, δ)
existe un natural N tal que
σ(f (x), fn (x)) <
ε
y σ(f (y), fn (y)) < ,
3
ε
3
para todo n ≥ N.
Luego, de la ecuación (3.4), tenemos que
σ(f (x), f (y)) ≤ σ(f (x), fn (x)) + sup σ(fn (x), fn (y)) + σ(fn (y), f (y)) < ε
n
si ρ(x, y) < δ. De donde se concluye la continuidad de f en X.
Finalmente, nos falta demostrar que la convergencia es uniforme en compactos. Sea K un
compacto en X. Luego para cada δ > 0 existen x 1 , x2 , . . . , xr ∈ K tales que
K⊂
r
[
i=1
B(xi , δ/2) ⊂
r
[
B(xi , δ/2).
i=1
Definamos Ki := K ∩ B(xi , δ/2). Ahora sea ε > 0. Por el ejercicio anterior sabemos que la
colección F es uniformemente equicontinua en K. Luego podemos elegir δ > 0 de modo que
supn σ(fn (x), fn (xi )) < ε/3 cuando x ∈ Ki . Además supondremos, ocupando la continuidad de
f , que σ(f (x), f (xi )) < ε/3 si x ∈ Ki Por lo tanto, de la convergencia fn (xi ) → f (xi ), vemos
que para cada x ∈ Ki existe un natural Ni (que depende sólo de i) tal que
σ(fn (x), f (x)) ≤ sup σ(fn (x), fn (xi )) + σ(fn (xi ), f (xi )) + σ(f (xi ), f (x)) < ε,
n
para cada n ≥ Ni . Como K =
Sr
i=1
Ki tendremos que para n suficientemente grande
sup σ(fn (x), f (x)) = máx sup σ(fn (x), f (x)) < ε.
x∈K
1≤i≤r x∈Ki
de donde se concluye la convergencia uniforme en compactos.
Lema 3.17. Sea D un conjunto numerable e (Y, σ) un espacio métrico. Sea {f n } una sucesión
de funciones de D en Y , tales que {fn (x) : n ∈ N} es compacto en Y , para todo x ∈ D. Luego
existe una subsucesión fnk tal que para cada x ∈ D, fnk converge.
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CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME
Demostración. Sea D = {xk : k ∈ N}. Como {fn (x) : n ∈ N} es compacto, para cada
x ∈ D, luego fn (x1 ) tiene una subsucesión convergente f n1,k (x1 ). Para fn1,k (x2 ) existe una subsucesión convergente fn2,k (x2 ). Inductivamente fnj−1,k (xj ) tiene una subsucesión convergente
fnj,k (xj ). Luego, para cada x ∈ D la subsucesión f nk,k converge.
Teorema 3.18 (Arzela-Ascoli). Sean (X, ρ) e (Y, σ) espacios métricos, con X separable e
Y completo. Sea F ⊂ C(X, Y ) una familia equicontinua en X. Además suponemos que para
cada x ∈ X, la clausura de {f (x) : f ∈ F} es compacta en Y . Luego, toda sucesión {f n } en
F tiene una subsucesión {fnk } que converge puntualmente a una función f ∈ C(X, Y ) y la
convergencia es uniforme en cada compacto de X.
Demostración. Sea {fn } una sucesión en F y D ⊂ X denso y numerable. Por el Lema 3.17
existe una subsucesión fnk que converge para cada x ∈ D. Luego, del Lema 3.16 tendremos
que la sucesión fnk converge puntualmente en X a una función continua f , y uniformemente
en compactos de X.
Corolario 3.19. Sean (X, ρ) e (Y, σ) espacios métricos, con X compacto e Y completo. Sea
F ⊂ C(X, Y ). Luego F es compacto en C(X, Y ) si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
(i) F es equicontinua en X, y
(ii) para todo x ∈ X, {f (x) : f ∈ F} es compacto en Y .
Demostración. Comenzaremos suponiendo que (i) y (ii) son ciertos. Para ello será necesario
probar que F es equicontinua y que {f (x) : f ∈ F} = {f (x) : f ∈ F }, pues, de ser ası́, por el
Teorema de Arzela-Ascoli tendremos inmediatamente que F es compacto, considerando que X
es compacto y separable. En pocas palabras, la compacidad de F se debe a que si {f n } es una
sucesión en F , luego existe una subsucesión {f nk } que converge uniformemente en compactos
de X a una función f ∈ C(X, Y ). Como X es compacto, entonces f nk → f uniformemente en
X y tendremos que f ∈ F.
Sea ε > 0, entonces existe δ > 0 tal que
sup σ(f (x), f (y)) < ε
cuando
ρ(x, y) < δ
f ∈F
Sea g ∈ F , entonces existe una sucesión {g n } en F que converge uniformemente a g. Luego,
σ(g(x), g(y)) ≤ 2 sup σ(g(x), gn (x)) + sup σ(f (x), f (y))
x∈X
f ∈F
y haciendo tender n al infinito tendremos que
σ(g(x), g(y)) ≤ sup σ(f (x), f (y)) < ε
cuando
ρ(x, y) < δ
f ∈F
de donde se concluye que F es una familia equicontinua de funciones, si F lo es.
Ahora bien, es claro que {f (x) : f ∈ F} ⊂ {f (x) : f ∈ F }. Sea g ∈ F y {g n } ⊂ F que converge
uniformemente a g. Luego, para cada x ∈ X tenemos que
{gn (x)} ⊂ {f (x) : f ∈ F}
=⇒
g(x) ∈ {f (x) : f ∈ F}
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3.3. TEOREMA DE ARZELA-ASCOLI
de donde se obtiene la igualdad entre {f (x) : f ∈ F} y {f (x) : f ∈ F}. Por lo tanto, F es un
subconjunto compacto de C(X, Y ).
Recı́procamente, para cada x ∈ X definamos T x : F → Y dada por
Tx (f ) = f (x)
podemos notar que para todo ε > 0 existe un δ > 0 (que en este caso δ = ε) tal que
σ(Tx (f ), Tx (g)) < ε
cuando
sup σ(f (x), g(x)) < δ
x∈X
luego, para cada x ∈ X la aplicación T x es continua. Entonces,
Tx (F) = {f (x) : f ∈ F}
es compacto en Y , dada la continuidad de T x . En particular tendremos que {f (x) : f ∈ F} es
compacto en Y , y tenemos probado (ii).
Finalmente, sea ε > 0, luego existen f 1 , f2 , . . . , fn ∈ F tales que
F⊂
n
[
B(fi , 3ε )
i=1
y definamos los conjuntos compactos de C(X, Y ) dados por K i = F ∩ B(fi , 3ε ). Claramente la
unión de los Ki , 1 ≤ i ≤ n, es todo F. Sea x ∈ X, luego para cada f ∈ K i , 1 ≤ i ≤ n, se tiene
que
σ(f (x), f (y)) ≤ 2 sup σ(f (x), fi (x)) + σ(fi (x), fi (y)) < ε
x∈X
cuando
ρ(x, y) < δi
dada la continuidad de las fi , 1 ≤ i ≤ n. Entonces, para obtener la equicontinuidad de la
familia F notemos que
sup σ(f (x), f (y)) ≤ sup σ(f (x), f (y)) = máx sup σ(f (x), f (y)) < ε
f ∈F
f ∈F
1≤i≤n f ∈Ki
cuando ρ(x, y) < δ, con δ = mı́n1≤i≤n δi . Por lo tanto, la familia F es equicontinua y concluimos
la prueba de (i).
Ejemplo. El siguiente ejemplo muestra que la compacidad del espacio métrico X no es superflua en el corolario anterior. Sea X = Y = R con la métrica usual, y sea f n una sucesión de
funciones continuas dadas por

si x ∈ [n, n + 21 ]
 2(x − n)
−2(x − (n + 1)) si x ∈ [n + 21 , n + 1]
fn (x) =

0
en otro caso
Claramente la familia F = {fn : n ∈ N} dos puntos, y por lo tanto su clausura es el
es una familia equicontinua tal que para ca- mismo conjunto.
da x ∈ R el conjunto {fn (x) : n ∈ N}
tiene clausura compacta. En general, para cada x ∈ R estos conjuntos constan de a lo más
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CAPÍTULO 3. CONVERGENCIA UNIFORME
Podemos notar que para cada x ∈ R la sucesión f n (x) → 0, cuando n → ∞, que es una función
continua. Pero la convergencia con es uniforme, ya que
sup |fn (x)| = 1
x∈R
En cambio si nos restringiéramos a conjuntos compactos de R, por el Teorema de Arzela-Ascoli,
la sucesión fn convergerı́a uniformemente a 0.
Finalizamos esta sección con el siguiente resultado existencial para ecuaciones diferenciales
ordinarias.
Teorema 3.20. ( Peano). Sean t0 , y0 ∈ R y a, b reales positivos. Considere una función real
f (t, y) continua y acotada en
R := {(t, x) : t0 ≤ t ≤ t0 + a, |y − y0 | ≤ b}.
Sea M una cota para |f (t, y)| en R y α = mı́n{a, b/M }. Luego la ecuación,
0
y = f (t, y)
y(t0 ) = y0
tiene una solución y = y(t) en [t0 , t0 , α].
Demostración. Sea δ tal que 0 < δ < b/M . Ahora, consideremos la función definida en
[t0 − δ, t0 ],
y0 (t) := y0 + (t − t0 )f (t0 , y0 ).
Notemos que ella satisface y0 (t0 ) = y0 , y00 (t) = f (t0 , y0 ), |y00 (t)| ≤ M y |y0 (t) − y0 | ≤ b.
Recursivamente, definimos para cada tal que 0 < < δ la función y (t) definida en [t0 −δ, t0 +α]
por y (t) = y0 (t) en [t0 − δ, t0 ] y
Z t
yε (t) = y0 +
f (s, yε (s − ε))ds,
t0
para t en [t0 , t0 + α]. Notemos que |y (t) − y0 | ≤ b para t ∈ [t0 , t0 + α]. Ademas, para cada h, t
tales que [t, t + h] ⊂ [t0 , t0 + α] tenemos que
|y (t + h) − y (t)| ≤ hM.
Por lo tanto, la colección de funciones {y (t) : 0 < < δ} es una colección equicontinua definida
en un compacto. Por el teorema de Arzela-Ascoli, la sucesión y n := y1/n tiene una subsucesión
ynk que converge uniformemente a alguna función y ∞ en C[t0 , t0 + α]. Por la uniformidad de
la convergencia vemos fácilmente que la función y ∞ soluciona la ecuación.