Tarea 6

Departamento de Matemática,
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Tarea 6
1) Sea 1 < p < ∞, y sea
|f |p−1 ∈ Lq (µ) y
1
p
+
1
q
= 1. Demuestre que si f ∈ Lp (µ), entonces
k |f |p−1 kLq (µ) = kf kp−1
Lp (µ) .
2) Sea E ∈ R1 un conjunto medible con la medida de Lebesgue m(E) < ∞ y sea
f ∈ Lq (E). Muestre que
1
1
kf kLp (E) ≤ (m(E)) p − q kf kLq (E)
para 1 ≤ p < q < ∞ (use desigualdad de Hölder). Se puede decir que Lq (E) ⊂
Lp (E) si m(E) < ∞.
3) Sea 1 ≤ p < q < ∞. Muestre que Lp (R) 6= Lq (R). Para mostrar, construe una
función f ∈ Lp (R) \ Lq (R) y una función g ∈ Lq (R) \ Lp (R).
4) Para dados 1 ≤ p, q < ∞, 0 ≤ α ≤ 1 definimos r = αp + (1 − α)q. Pruebe la
desigualidad
(1−α)q
kf gkrLr (µ) ≤ kf kαp
Lp (µ) kf kLq (µ) .
5) Sea {fn }∞
n=1 una sucesión definida de sigiente modo: fn = 0 para x ∈ [0, (1 −
1/n)/2], fn = 1 para x ∈ [ 21 , 1] y fn es lineal para [(1 − 1/n)/2, 12 ]. Muestre que
{fn } es la sucesión de Cauchy, pero la sucesión {fn } no converge en la norma k · kL1
a una función continua en [0, 1].
6) Muestre, que si la sucesión {fn } converge en Lp (µ) a una función f ∈ Lp (µ),
entonces {fn } es una sucesión de Cauchy.
7) Demuestre que si A < kf kL∞ , entonces existe un conjunto E con µ(E) > 0 tal
que |f (x)| ≥ A para x ∈ E.
8) Sea {fn } una sucesión en Lp (X, µ) que converge en casi todas partes a una
función medible f . Si existe una función g ∈ Lp (X, µ) tal que |fn (x)| ≤ g(x) para
todos x ∈ X y n ∈ N, entonces f ∈ Lp (X, µ) y {fn } converge en Lp a f .
9) Sean µ(X) < ∞ y {fn } una sucesión en Lp (X, µ) que converge en casi todas
partes a una función medible f . Si existe una constante K tal que |fn (x)| ≤ K
para todos x ∈ X y n ∈ N, entonces f ∈ Lp (X, µ) y {fn } converge en Lp a f .
10) Sean f, fn ∈ Lp (µ), 1 ≤ p < ∞ y supongamos que fn → f en c.t.p. Muestre
que kfn − f kLp (µ) → 0 si y solo si kfn kLp (µ) → kf kLp (µ) . (Primero use 2p (|fn |p +
|f |p ) − |fn − f |p > 0 en c.t.p. y después aplique el lema de Fatou).
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