Teor´ıa de los números Curso 2012/2013. Hoja 9

Teorı́a de los números
Curso 2012/2013. Hoja 9
1. Probar que si n es un entero positivo tal que 4|n y existen enteros a y b tales
que n = a2 + b2 , entonces a y b han de ser pares.
2. Mostrar que en los siguientes casos, un entero positivo n no puede expresarse
como suma de (dos) cuadrados.
a) n ≡ 12 mod 16.
b) n ≡ 6 mod 8.
c) n ≡ 7 mod 8.
3. Sea n un entero positivo. Probar que si n se expresa como suma de dos cuadrados
entonces 2n también se expresa.
4. Probar que todo número impar se expresa como diferencia de dos cuadrados
consecutivos.
5. Probar que 22k no puede expresarse como suma de dos cuadrados distintos
(ambos) de cero.
6. Probar que todo entero de la forma 4k+2 no puede expresarse como diferencia de
cuadrados. Probar que de hecho un número par es representable como diferencia
de cuadrados si y sólo si es múltiplo de 4.
7. Probar que si un número primo positivo es suma de 2 o 4 cuadrados de números
primos entonces uno de ellos ha de ser el 2.
8. Probar que si un número primo es suma de tres cuadrados de números primos
entonces uno de ellos es el primo 3.
9. Probar que el único primo positivo p, que se expresa como suma de dos cubos
positivos es el primo p = 2. (Sugerencia: puede ser útil factorizar a3 + b3 .)
10. Usando el hecho de que n3 ≡ n mod 6 concluir que todo entero n puede
expresarse como suma de cinco cubos. (Sugerencia: puede servir la igualdad
n3 − 6k = n3 − (k + 1)3 − (k − 1)3 + k 3 + k 3 .)
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11. Encontrar todas las soluciones de la ecuación
x2 + y 2 = z 3 .
12. Probar que la ecuación y 3 = x2 + (x + 1)2 no tiene solución.
Lista de problemas para entregar:
Primera parte: 2,4,5 y segunda 7,8,9. Hay que elegir uno de cada parte.
El problema 11 lo presenté como desafı́o en el curso 2010-2011. Es no trivial. Muy
interesante.
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