1 2 3 4 5 Calif. Apellido y Nombre: Libreta: Algebra I
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1 2 3 4 5 Calif. Apellido y Nombre: Libreta: Algebra I - 2do Cuatrimestre 2013 Final – 21/2/2014 1. Se recuerda que la sucesión de Fibonacci está dada por la siguiente fórmula recursiva: F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn , ∀ n ≥ 0. Probar que todo número natural n ∈ N puede ser escrito como una suma de distintos números de Fibonacci entre F2 , F3 , . . . , Fk , . . . . Por ejemplo, 32 = 21 + 8 + 3 = F8 + F6 + F4 . (Sugerencia para el paso inductivo: notar que siempre se puede obtener una escritura ası́ donde aparece el mayor número de Fibonacci menor o igual que n.) ¿Es única esta representación? 2. Sea ∼ la relación en Z definida por a ∼ b ⇐⇒ 6 | 10a + 2b. Probar que ∼ es una relación de equivalencia y determinar la clase de los elementos 0, 1 y 2. ¿Cuántas clases hay en total? 3. Sean a, b ∈ Z tales que 2109 a ≡ 3 (mód 7) y 5721 b ≡ 4 (mód 37). Determinar el resto de dividir a 37a + 7b por 259. 4. Sea f ∈ C[X] y sea α ∈ C una raı́z (exactamente) triple de f . Probar que el resto de dividir a f ′ por (X − α)3 es de la forma c(X − α)2 donde c ∈ C es no nulo. 5. Probar que hay a lo sumo 2 números de exactamente seis dı́gitos que al elevarlos al cuadrado terminan con los mismos seis dı́gitos. Es decir, en términos de congruencias, que hay a lo sumo 2 números n de exactamente seis dı́gitos tales que n2 ≡ n (mód 106 ). Justifique todas sus respuestas Complete esta hoja con sus datos y entréguela con el resto del examen
