El Principio del Buen Orden implica El Principio de Inducción
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El Principio del Buen Orden implica El Principio de Inducción Matemática Sea A un subconjunto de números naturales tal que, (1) contiene al 1, y (2) si contiene a n entonces contiene a n + 1. Supongamos que A != N. Sea B = N − A el conjunto de números naturales que no están en A. Si A != N, entonces B != ∅. Luego, por el Principio del Buen Orden, B tiene un elemento más pequeño. Sea m ∈ B el elemento más pequeño de B. Observar que m != 1 porque 1 ∈ A. Por lo tanto, m > 1 y podemos escribir m = (m − 1) + 1, y m − 1 ∈ N. Observar que m − 1 ∈ / B porque el número más pequeño en B es m. Por lo tanto, m − 1 ∈ A y entonces m = (m − 1) + 1 ∈ A. Esto contradice la suposición ‘ m es el elemento más pequeño de B.’ El Principio de Inducción Matemática implica El Principio del Buen Orden Sea A un subconjunto de números naturales. El Principio del buen orden dice: A != ∅ =⇒ ∃ m ∈ A , ∀n ∈ A , m < n • Esto dice P ⇒ Q, lo cual es equivalente a Q o ∼ P . Es decir, ∃ m ∈ A , ∀n ∈ A , m < n o • Supongamos que ∼ Q. Es decir, que, A=∅ ∀ m ∈ A , ∃n ∈ A , m ≥ n Sea B el subconjunto de N tal que 1, 2, . . . , k, no pertenecen a A. Observar que 1 ∈ B. (Porque 1 ∈ A ⇒ ∀n ∈ A , 1 < n ). Observar que si 1, 2, . . . , k están en B, entonces k + 1 ∈ B. (Porque k + 1 ∈ A con 1, 2, . . . , k en B ⇒ ∀n ∈ A , k + 1 < n ). Por el Principio de Inducción Matemática, B = N. Por lo tanto A = ∅. (Es decir, P ) P Q P yQ P Q P oQ P Q P ⇒Q V V V V V V V V V V F F V F V V F F F V F F V V F V V F F F F F F F F V 1
