Inducción Matemática Definición 1. Diremos que un subconjunto I

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Campus Santiago
Inducción Matemática
Definición 1. Diremos que un subconjunto I de números reales es inductivo si:
1. 1 ∈ I
2. Si k ∈ I, entonces k + 1 ∈ I.
Definición 2. Llamaremos conjunto de los números naturales,N, al menor conjunto
inductivo de números reales.
Teorema 1. (Principio de Inducción)
Sea k un número natural y P (k) una propiedad que satisface k. Si se
cumplen las siguientes afirmaciones:
1. P (1).
2. Para cada k, si P (k), entonces P (k + 1).
Entonces la propiedad P (k) se satisface para cualquier número natural.
Teorema 2. (Principio del buen orden)
El conjunto de los números naturales es un conjunto bien ordenado, es
decir, todo subconjunto A 6= ∅, de números naturales, tiene primer elemento.
Ejercicios
Usando el principio de inducción, demuestre que:
1. 1 + 2 + 3 + . . . + n =
n(n + 1)
, ∀n ∈ N.
2
2. 2n ≤ (n + 1)!
1 − an+1
, donde a ∈ R y a 6= 1.
1−a
2
n(n
+
1)
4. 1 + 23 + 33 + . . . + n3 =
, ∀n ∈ N.
2
3. 1 + a + a2 + . . . + an =
5. 1 + 22 + 32 + . . . + n2 =
6.
n(n + 1)(2n + 1)
, ∀n ∈ N.
6
1
1
1
k+1
+ ...
+
=
1·2
k · (k + 1) (k + 1) · (k + 2)
k+2
7. Si a1 = 1; a2 = 1; a(n+1) = an + an−1 .
√ !n
1+ 5
Demostrar ∀n ≥ 1 : an ≤
2
8. 2n−1 (an + bn ) > (a + b)n donde a + b > 0, a 6= b y n ≥ 2.
9. Si a1 = a2 = 1;
an+1 = an + an−1 ∀n ≥ 3. Entonces:
1
an = √ ·
5
√ !n
1
1+ 5
−√ ·
2
5
√ !n
1− 5
2
10. (2n)! < 22n (n!)2 .
11. Considerar que una función f tiene la propiedad f (xy) = f (x) + f (y). Demostrar
por Inducción que f (an ) = nf (a), ∀ n ∈ N.
12. Si un conjunto A tiene n elementos, entonces el conjunto potencia de A tiene 2n
elementos.
13. 22n+1 − 9n2 + 3n − 2, es divisible por 54 para todo n en los números naturales.
14. 24 divide a n(n2 − 1) si n es un número impar.
15. [n(n + 1)(n + 2) . . . (n + p − 1)] es divisible por p.
16. 1 + 33 + . . . + (2n + 1)3 = (n + 1)2 (2n2 + 4n + 1).
17. Deduzca una fórmula para la suma 1 + 32 + 52 + . . . + (2n + 1)2 y demuestrela
usando inducción.
18. El principio de inducción dice: Si para p(n)se cumple:
(a) p(a) es verdadero para un cierto entero a.
(b) p(n) =⇒ p(n + 1) para n ≥ a.
entonces p(n) es verdadero, ∀n ∈ N, n ≥ a.
Use este principio para demostrar que: 3n + 68 < 3n , ∀n ∈ N, n ≥ 4.
19. Demuestre que los ángulos de un polı́gono regular de n lados convexo suman
180(n − 2).
20. Cualquier número natural mayor que 1 puede ser factorizado como un producto
de números primos.
21. Demuestre que si el número de diagonales de un polı́gono convexo de n lados es
n(n − 3)
para n ≥ 3.
2
22. Probar que el número de triángulos que se pueden formar con n puntos donde
n(n − 1)(n − 2)
“no” hay tres colineales es:
.
6
23. En Hanoi, un templo budista tiene 3 torres. Cuenta la leyenda que inicialmente
hubo en una de las torres 64 argollas, todas de distinto tamaño, apiladas de mayor
a menor, el más grande en la base, es decir, formando una pila cónica. Los monjes
del templo deben trasladar las argollas a otra torre, trasladando sólo una a la vez
y sin colocar una argolla sobre otra más pequeña. Además, la leyenda dice, que
cuando los monjes terminen su tarea habrá llegado el fin del mundo.
(a) Determine una relación de recurrencia para an , el número mı́nimo de movimientos para lograr el objetivo.
(b) Conjeture una fórmula para an en términos de n y demuestrela por inducción.
24. Sn es un conjunto formado por n números distintos. Se trata de obtener una
relación de recurrencia para an , la cantidad de comparaciones entre pares de
números que están en Sn , para determinar el mayor y el menor de todos ellos.
Es claro que a1 = 0 y a2 = 1. En el caso general, suponiendo que n es par,
podemos calcular m1 y M1 , el menor y el mayor respectivamente, de los números
en la primera mitad de Sn ; después calculamos m2 y M2 , el menor y el mayor
respectivamente, de los números en la segunda mitad de Sn ; finalmente , hacemos
las comparaciones entre m1 y m2 y entre M1 y M2 , para ası́ obtener el menor y
el mayor elemento de Sn .
25. A la edad de un año, una pareja (macho y hembra) de comadrejas da origen a dos
nuevas parejas de comadrejas y en cada año posterior produce seis nuevas parejas
de comadrejas. Suponga que las comadrejas no mueren y que se comienza con un
par de comadrejas recién nacidas, es decir, a0 = 1.
(a) Determine una relación de recurrencia para an , la cantidad de parejas de
comadrejas al final del año n.
(b) Demuestre por inducción que
1
an = 4n+1 − (−1)n+1
5
.
26. En una hoja de papel se tiene n rectas distintas dibujadas de borde a borde, de
modo que todo par de rectas tiene un punto en común (que no esta en el borde
de la hoja) y no hay tres (o más) que concurran en un mismo punto.
(a) Si ak es la cantidad de regiones en que queda dividida la hoja al tener k
rectas, ¿ Qué relación hay entre ak y ak+1 ?
(b) Determine an en términos de n, sin referencia de an−1 .
27. Sea a1 = 1, an+1 =
6a2n
para n ∈ N; demuestre que an ≤ 1, ∀n ∈ N.
a2n + 8
n
28. Se define an = 22 + 1 para n = 0, 1, 2, . . .. Se probará que mcd(an , am ) = 1 si
n 6= m (mcd=máximo común divisor).
Para ello,
(a) Muestre por inducción que para todo n ≥ 1, a0 a1 a2 · · · an−1 + 2 = an .
(b) Pruebe que si existe un p ≥ 1 tal que p|an y p|am para n 6= m, entonces p es
par e impar a la vez. Concluya el resultado, es decir, que mcd(an , am ) = 1
para n 6= m.
Sumatoria
Sean a1 , a2 , . . . an ∈ R. Con el fin de abreviar la notación para la suma
a1 + a2 + . . . + an , se le denota por:
n
X
a1 + a2 + . . . + an =
ak
k=1
Definición : Sean a1 , a2 , . . . an ∈ R, entonces
1.
1
X
ak = a
k=1
2.
n+1
X
ak =
n
X
k=1
ak + an+1
k=1
Ejercicio: Demuestre las siguientes propiedades de las sumatorias:
n
n
n
X
X
X
1.
(ak + bk ) =
ak +
bk (Asociatividad)
k=1
2.
n
X
k=1
cak = c
3.
ak
k=1
(Distributividad)
k=1
k=1
n
X
n
X
c = nc
k=1
4.
n
X
(ak − ak−1 ) = an − a1
(Propiedad telescópica)
k=1
5.
n
X
ak b k
2
≤
n
X
k=1
a2k
n
X
k=1
b2k
(Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
k=1
6. Demuestre, usando el principio de inducción, la validez de las siguientes fórmulas:
(a)
n
X
5k−1 =
k=1
(b)
n
X
k=1
(c)
(d)
n
X
k=1
n
X
k=1
(e)
n
X
k=1
(f)
n
X
k=1
(g)
n
X
k=1
k5k =
5n − 1
4
5 + (4n − 1)5n+1
16
1
n
=
k(k + 1)
n+1
1
= 1 − 2−n
k
2
(2k − 1)(2k) =
n(n + 1)(4n − 1)
3
1
n
=
(2k − 1)(2k + 1)
2n + 1
(−1)k (2k + 1) = αn y determine el valor de la constante α.