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Proyecto I
Inducción
Matemáticas Básicas
El principio de inducción simple dice:
Definition 1.1 Sea P una propiedad para el conjuntos de los números naturales. Si se cumplen las siguientes condiciones:
(a) 1 cumple la propiedad P
(b) Siempre n ∈ N sea tal que n cumple P, entonces n + 1 cumple P.
Entonces podemos concluir que todos los naturales cumplen la propiedad
P.
El principio de inducción modificada dice:
Definition 1.2 Sea P una propiedad para el conjuntos de los números naturales y n0 ∈ N. Si se cumplen las siguientes condiciones:
(a) n0 cumple la propiedad P
(b) Siempre n ∈ N con n ≥ 0 sea tal que n cumple P, entonces n + 1
cumple P.
Entonces podemos concluir que todos los naturales mayores o iguales que
n0 cumplen la propiedad P.
El principio de inducción fuerte dice:
Definition 1.3 Sea P una propiedad para el conjuntos de los números naturales. Si se cumplen las siguientes condiciones:
(a) 1 cumple la propiedad P
(b) Siempre n ∈ N sea tal que k cumple P para toda k ∈ {1, . . . , n},
entonces toda k ∈ {1, . . . , n + 1} cumple P.
Entonces podemos concluir que todos los naturales cumplen la propiedad
P.
El principio de inducción fuerte modificada dice:
Definition 1.4 Sea P una propiedad para el conjuntos de los números naturales y n0 ∈ N. Si se cumplen las siguientes condiciones:
(a) n0 cumple la propiedad P
(b) Siempre n ∈ N sea tal que n ≥ n0 y k cumple P para toda k ∈
{n0 , . . . , n}, entonces toda k ∈ {n0 , . . . , n + 1} cumple P.
Entonces podemos concluir que todos los naturales mayores o iguales que
n0 cumplen la propiedad P.
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En las definiciones anteriores, al lo escrito en (a), se le conoce como la
Base de Inducción, mientras que lo descrito en (b) se le conoce como el
paso inductivo, siendo la primera parte algo que le llamamos hipótesis de
inducción.
Decidiendo que principio se aplica mejor, resuelvan los siguientes ejercicios.
1. Muestra que si A es un conjunto de n elementos, entonces P(A) tiene
2n elementos.
.
2. Muestra que 1 + 2 . . . + n = n(n+1)
2
.
3. Muestra que 12 + 22 . . . + n2 = n(n+1)(2n+1)
6
4. Muestra que 13 + 23 . . . + n3 = [ n(n+1)
]2 .
2
5. Encontrar una formula para la siguiente expresiones y demostrarla por
inducción
Pn
i=1 (2i − 1) = 1 + 3 . . . + (2n − 1).
n!
. Muestra:
6. Recordemos que nk = k!(n−k)!
n
(a) n+1
= k−1
+ nk .
k
(b) Muestra que nk siempre es un número natural.
P
(c) (a + b)n = nk=0 nk an−k bk .
P
(d) nk=0 nk = 2n .
n+1
7. Muestra que si r 6= 0, entonces 1 + r + r2 + . . . + rn = 1−r
1−r
8. Muestra las siguientes formulas.
P
(a) nk=1 k = 12 n2 + 12 n.
P
(b) nk=1 k 2 = 31 n3 + 12 n2 + 61 n.
9. Consideremos la siguiente definición de an .
a0 = 1
an+1 = an ∆a
2
Muestra por inducción que an+m = an am y que (an )m = an∆m .
10. Muestra que la suma de los ángulos internos de un polı́gono convexo
de n lados es 180(n − 2).
11. Muestra que n3 − n siempre es divisible por 3.
12. Muestra que todo conjunto finito de números tiene uno que es máximo
y uno que es mı́nimo.
13. Usando identidades trigonométricas básicas, muestra que se cumplen
las siguientes igualdades.
(a) sen(θ + nπ) = (−1)n sen(θ).
(b) [r(cos(θ) + isen(θ))]n = rn (con(nθ) + isen(nθ)).
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0
