Dbre 2009 - Unican.es

11-12-2009
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS - 2o I.T.O.P
ESTADÍSTICA
Tiempo=80 m.
[Ejer. 1] En la construcción de unas determinadas obras pueden aparecer anomalı́as debidas a dos
causas que son independientes: fallos de cimentación y mala calidad de los materiales. La
primera ocurre con probabilidad del 4 % y la segunda con probabilidad del 3 %. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que en una determinada obra no aparezca ninguna anomalı́a.
b) Calcular la probabilidad de que aparezcan fallos de cimentación y no mala calidad de
los materiales.
Si se detecta la presencia de anomalı́as, la construcción puede verse afectada con un desplome
en un plazo de tiempo determinado con las siguientes probabilidades:
0.1, es la probabilidad de desplome cuando no ha aparecido ninguna de las anomalı́as.
0.8, es la probabilidad de desplome cuando ha aparecido alguna de las anomalı́as.
c) Si el edificio se ha desplomado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya producido
alguna de las anomalı́as?.
d ) Una determinada empresa realiza 5 obras cada año. ¿Cuál es la probabilidad de que
en 5 años al menos tres obras sufran anomalı́as?
[Ejer. 2] Sea la función de distribución de la variable aleatoria X


0
x≤0





x


0≤x<1

3
Fm (x) =

x+1


1≤x<2


3



 1
2≤x
(2.5 p.)
(2.5 p.)
Descomponerla como una combinación lineal convexa de una función de distribución a saltos
y otra absolutamente continua, de la forma
Fm (x) = θ · Fs (x) + (1 − θ) · Fc (x)
donde (0 < θ < 1).
1
[Ejer. 3] En la fabricación de piezas de cemento, el peso de las piezas se ajusta por una distribución
Normal con media 250 kg y desviación tı́pica 5 kg.
a) ¿Qué proporción de piezas tienen un peso superior a 260 kg?
(0.75 p.)
b) Para el control de posibles defectuosas se pesan en lotes de 16 piezas. Si el peso medio
del lote está comprendido entre 246.25 kg y 253.75 kg, el lote se acepta. ¿Cuál es la
probabilidad de que un lote elegido al azar se rechace?
(1.0 p.)
c) Las piezas producidas se cargan en camiones cuyo lı́mite de peso por seguridad es de
5 toneladas. ¿Cuál es el número máximo de piezas a cargar en un camión para que no
se sobrepase el peso lı́mite con una probabilidad de al menos 0.99?
(1.25 p.)
Cambios en los materiales de fabricación hacen sospechar en cambios en el peso media de
las piezas de cemento. Para comprobarlo se hacen dos contrastes:
d ) De una muestra de 25 piezas se obtiene un peso medio de 245 kg y una desviación
tı́pica de 4.8 kg. Con ayuda de un intervalo de confianza al nivel de confianza 0.95,
¿podemos aceptar que el peso media de las piezas fabricadas es la misma que antes de
los cambios?
(1.0 p.)
e) En el nuevo proceso se obtienen 2 lotes defectuosos de un total de 400 lotes. Con
ayuda de un intervalo de confianza al nivel de confianza 0.95, ¿podemos aceptar que
la proporción de lotes defectuosos es 0.0027?
(1.0 p.)
NOTA.- Se recuerda al alumno que debe incluir las expresiones o fórmulas utilizadas en
los ejercicios y no limitarse a las cantidades numéricas. Ası́mismo, cuando se utilice una
aproximación de una función de distribución de probabilidad a otra, se debe indicar explı́citamente.
2
0.1.
Soluciones
[Ejer. 1] Una compañı́a vende sus productos de ..
a) Sean FC=“aparece una anomalı́a debida a fallos de cimentación”, y MC=“aparece
una anomalı́a debida a mala calidadçon P (F C) = 0,4 y P (M C) = 0,3.
P (F C ∩ M C) = 1 − P (F C))(1 − P (M C) = 0,9312.
y P (A = F C ∪ M C) = 1 − 0,9312 = 0.0688.
b) P (F C ∩ M C) = 0,0388
c) Con P (D|A) = 0,8 y P (D|A) = 0,1
P (D) = P (D|A)P (A) + P (D|A)P (A) = 0,14816
solo falta Bayes
P (A|D) =
0,8 ∗ 0,0688
P (D|A)P (A)
=
= 0,3714903
P (D)
0,8 ∗ 0,0688 + 0,1 ∗ 0,9312
d ) Introducimos el experimento: “considerar 5 años”, y la variable X =“número de obras
que sufren anomalı́as”. En total se han realizado 25 obras y nos piden: P (X ≥ 3) con
X ∼ B(n = 25; p = P (A) = 0,0688)
P (X ≥ 3) = 1 − P (X < 3) = 0,755
[Ejer. 2] Sea la función de distribución de la variable aleatoria X es


0
x≤0






 x
0≤x<1

3
Fm (x) =

x+1


1≤x<2


3



 1
2≤x
P (X = 1) = F (1) − F (1− ) =
1
2 1
− =
3 3
3
Es mixta con la componente discreta pd ya hallada, y la componente continua fc derivando,
y ambas aún sin normalizar

1





 3
1
fc (x) =


3



 0
0≤x<1
1<x<2
resto
3

1


3
pd (x) =

 0
x=1
resto
(Ahora falta normalizar cada una de ellas para que la masa sea 1. Ası́ que, normalizadas
3
serı́an: fc (x) y 3 pc (x), quedando
2
 x

2
Fc (x) =
 1

 0 x<1
0≤x<2
Fs (x) =
2≤x

1 1≤x
1
2
que es la masa de probabilidad de pd y por tanto 1 − θ = que es
3
3
la masa de probabilidad de fc .
donde el valor de θ =
[Ejer. 3] El peso de las piezas se ajusta por una distribución Normal con media 250 kg y desviación
tı́pica 5 kg.
µ
¶
260 − 250
a) P (X > 260) = P z >
= 0,02275013
5
X1 + . . . + X16
b) Sea X =
el peso medio de 16 piezas, que es N (250; 5/4).
16
La probabilidad de aceptar el lote es
µ
¶
246,25 − 250
253,75 − 250
P (246,25 < X < 253,75) = P
<z<
= 0,9973002
1,25
1,25
luego la probabilidad de rechazarlo es 0.0026998
¡
√ ¢
c) Sea S = X1 + . . . + Xn el peso de las n piezas, que es N 250n; 5 n y M = 5000
µ
¶
M − 250n
√
P (S < M ) ≥ 0,99 =⇒ P z <
= z0 ≥ 0,99
5 n
Φ(z0 ) ≥ 0,99 =⇒ z0 ≥ 2,326
M − 250n
√
≥ 2,326 =⇒ n ≤ 19
5 n
d ) Se toma una muestra de n = 25 y qt(c(0.975), df=24) 2.063899
4,8
240 ± 2,063899 √ = (243,0187; 246,9813)
25
e)
µ
χ2 (2x, α/2) χ2 (2x + 2, 1 − α/2)
;
2n
2n
¶
4
µ
=
0,48 14,45
;
800
800
¶
= (0,000605; 0,01806) (1)