Distribución geométrica (r = 1)

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BY: Grupo CDPYE-UGR
Distribución geométrica
Modelo probabilı́stico
Se realizan sucesivas repeticiones independientes de pruebas de Bernoulli idénticas, con probabilidad de éxito p, hasta que aparece el primer éxito, y se mide el número de fracasos.
Caso particular de la distribución binomial negativa con r = 1.
Notación y parámetros
X ∼ G(p); 0 < p < 1
Función masa de probabilidad
P (X = x) = (1 − p)x p, x ∈ N ∪ {0}
Función de distribución
FX (x) =

 0
x<0
Cálculo

1 − (1 − p)[x]+1
−1
x≥0
Función generatriz de momentos
MX (t) = p (1 − (1 − p)et )
Momentos
No hay una expresión genérica conocida.
Media y varianza
m1 = E[X] =
Falta de memoria
X ∼ G(p) ⇒ P (X ≥ h + k/X ≥ h) = P (X ≥ k) , ∀h, k ∈ N ∪ {0}
Caracterización
La geométrica es la única distribución con valores en N ∪ {0} que verifica la propiedad
de falta de memoria.
Demostración
, t < −ln(1 − p)
1−p
1−p
y µ2 = V ar[X] =
p
p2
Demostración