PROBLEMA N. 84 1) La función de densidad de Xβ, variable X

PROBLEMA N. 84
1) La función de densidad de Xβ , variable X condicionada a X
fβ (x)
6 β es
6 x X 6 β)
=
d
P (X
dx
=
d F (x )
dx F (β)
=
f (x)
F (β )
=
0
6x6β
2) En el problema n. 49 (Qüestiió, 17(2), 1993), se prueba que si X es una variable
aleatoria con densidad f (x) y
Γβ =
inf
0
6x6β
entonces se cumple la desigualdad
β2 Γβ
6
f (x )
p
12 σ
siendo σ la desviación tı́pica. Aplicando esta desigualdad a la función fβ (x) obtenemos
f (x)
0 6 x 6 β F (β )
β2 inf
6
p
12 σ(β)
siendo σ(β) la desviación tı́pica de Xβ . Obsérvese que hay igualdad si y sólo si X es
uniforme en (0; α), con β 6 α.
C.M. Cuadras
Universitat de Barcelona
PROBLEMA N. 85
1) Supongamos cierta la hipótesis nula
H0 : (X ; Y ) tiene la misma distribución que (Y ; X ):
6 a) = P( Z 6 a), siendo Z = X Y . Tenemos:
Y 6 a) = P (X Y ) 2 (x y) x y 6 a
= P (Y X ) 2 (x y) x y 6 a
(por H0 )
= P (X Y ) 2 (x y) y x 6 a
(intercambiando x y)
= P(Y
X 6 a)
Debemos probar que P(Z
P(X
;
;
;
;
=
;
=
;
=
;
Luego Z = X Y tiene la misma distribución que
Z es simétrica respecto del origen.
Z =Y
X, y la distribución de
2) Aceptar la hipótesis
H1 : la mediana de Z es positiva
implica rechazar H0 . En efecto, si H0 es cierta, entonces
P(Z
6 0) = P(Z > 0) = 12
y la mediana de Z es 0. Luego H1 es incompatible con H0 .
3) Sea (X1 ; Y1 ); : : : ; (Xn ; Yn ) una muestra aleatoria simple de (X ; Y ). Si H0 es cierta
P(X
Y
<
0) = P(Y
X
<
0) =
1
;
2
luego el número de veces k tal que
Yi
Xi
>
0
sigue la distribución binomial B n; 12 . El test de los signos serı́a un test no paramétrico adecuado para contrastar H0 frente H1 , pues la distribución de k, bajo
H0 , no depende de la distribución de (X ; Y ). También podrı́amos utilizar el test del
signo-rango de Wilcoxon.
C.M. Cuadras y D. Cuadras
Universitat de Barcelona