1 Supongamos que no es posible que en un a˜no, un individuo

Supongamos que no es posible que en un año, un individuo pase de la clase
económicamente alta a la clase baja o viceversa, sin pasar primero por la clase
media. En un año, si un individuo está en la clase alta, pasará a estar en la
clase media con probabilidad 54 y si está en la clase baja, pasará a estar en la
clase media con la misma probabilidad. Si ya está en la clase media, habrá 13
de probabilidad de que siga estando en ella, 31 de que pase a la clase alta, y
1
3 de que pase a la clase baja. Utilice una cadena de Markov para modelar el
comportamiento anual. Indique el menor valor propio de la matriz de transición
y además el porcentaje en estado estable que tendrá la clase media. Reporte el
porcentaje como un número entre 0 y 1.
Solución
Modelemos la distribución con un vector columna donde la primera componente se relaciona con el porcentaje de individuos en la clase baja, la segunda
en la clase media y la tercera la clase alta. Ası́ la matriz de transición queda:

.20

A = .80
0
Usando los cálculos
λ1 = 1.00, λ2 = 0.2,
son:
v1
v2
v3
1/3
1/3
1/3

0
.80 
.20
reportados en las figuras 1 y 2, los valores propios son:
y λ3 = −0.466667 y los vectores propios correspondientes
=< +0.358979, +0.86155, +0.358979 >
=< −0.707107, +0.0, +0.707107 >
=< +0.408248, −0.816497, +0.408248 >
Por tanto


+0.35897 −0.70710 +0.408248
P =  +0.86155
+0.0
−0.816497  ,
+0.35897 +0.70710 +0.408248

1.0
D= 0
0
0
0.2
0

0

0
−0.466
Figura 1: Cálculo de vectores propios de A.
Figura 2: Matriz lı́mite de A.
Por tanto,

A∞
1
= lı́m Ak = P  0
k→∞
0
0
0
0



0
0.22727 0.22727 0.22727
0  P−1 =  0.54545 0.54545 0.54545 
0
0.22727 0.22727 0.22727
Por tanto, de acuerdo al modelo la distribución de las clases económicas a largo
plazo sin importar la distribución actual serı́a < 22.72 %, 54.54 %, 22.72 % >.