Examen de Estad´ıstica

Examen de Estadı́stica
Ingenierı́a Superior de Telecomunicación
14 de Febrero, 2004
Cuestiones
1h 45’
C1. El objetivo de este problema es analizar un canal de comunicaciones . Cuando el canal transmite un 1, el receptor recibe una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media
1 y varianza 0.5. Si el canal binario transmite un 2, el receptor recibe una variable aleatoria
Normal com media 2 y varianza 0.5. Sea P(1) la probabilidad de transmitir un 1.
a) Si P(1)=0.75. ¿Cuál es la probabilidad de que un 1 haya sido transmitido cuando el
receptor ha recibido una señal superior a 2?
b) Calcular la función de densidad de probabilidad de la secuencia recibida.
C2. Sea X(k) = V e−k el proceso estocástico que mide la grasa corporal después de k visitas al
gimnasio, donde V se distribuye como una χ2g y k = 0, 1, 2, . . ..
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la grasa corporal se reduzca en al menos 22 unidades
respecto de su valor inical después de la primera sesión? (tomar g = 30).
b) Calcula la esperanza, varianza y autocovarianza del proceso. ¿Es débilmente estacionario?.
¿Es ergódico?. Razona tu respuesta.
C3. En un proceso de llenado, la tolerancia media al peso de los recipientes es de 8 grs. Los pesos
de 25 recipientes tomados al azar dieron como resultado una media muestral de 9.94 grs y una
desviación muestral corregida de 2.8 grs.
a) Si los pesos se encuentran normalmente distribuidos, determinar si la media de éstos
difiere del valor necesario (α = 0,01).
b) ¿Con qué nivel de confianza se aceptará la hipótesis de partida como válida?
c) ¿Qué valores de la media muestral podriamos haber obtenido para haber aceptado la
hipótesis de partida con el nivel de confianza del apartado a) ?
C4. El tiempo de desintegración de un átomo de un material radiactivo se distribuye según una
v.a. T con función de distribución 1 − exp(−at), donde a =
6 0 es una constante que depende
del material radioactivo.
a) ¿Cuál es la función de densidad de dicha v.a.?.
b) ¿La distribution de T pertenece a una familia conocida?.
c) Determinar el tiempo de vida esperado de un átomo.
d ) ¿Cuál es su varianza?.
e) Calcular la probabilidad de que la vida de un átomo de este material radioactivo sea
más de 2000 unidades de tiempo, si sabemos que una proporción de 21 de este material
se desintegra en 1000 unidades de tiempo.
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Problemas
1h 30’
P1. Una mancha de fuel debida a un vertido se encuentra en la situación mostrada en la figura.
El avance diario de la mancha en dirección Este viene caracterizado por una Normal con
media 20 km y desviación tı́pica 5 km, mientras que el avance diario en dirección Sur viene
caracterizado por una Normal con media 26 km y desviación tı́pica 10 km.
0
50
75
Zona de emergencia
Costa B
150
Este
50
Costa B
75
150
Sur
Costa A
Zona de emergencia Costa A
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al cabo de tres dı́as la mancha haya alcanzado la costa
A?
Si tomamdos la v.a. bidimensional normal formada por los avances en ambas direcciones y
con coeficiente de correlación ρ,
a) Considerando ρ = 0, ¿cuál es la probabilidad de que en un dı́a la mancha haya llegado a
la zona de emergencia de las dos costas?.
b) Considerando ρ = 0,25, ¿cuál es la probabilidad de que en un dı́a la mancha esté más
cerca de la costa A que de la costa B?
P2. Un sistema de vigilancia aérea está constituido por N subsistemas y un control central; cada
subsistema toma una medida, tal que en condiciones de ausencia de aeronave puede
modelarse como una v.a. Xi i = 1, . . . , N uniforme entre 0 y 1 y en presencia de aeronave
sigue otra distribución. Cada variable Xi está sometida a un proceso de acondicionamiento
1
1/β
mediante la función g(Xi ) = [−ln(Xi )]
(α, β > 0), originando nuevas variables Yi , más
α
apropiadas para basar en ellas las decisiones. El funcionamiento de cada subsistema puede
considararse independiente del resto de ellos. El control central combinará la información
que recibe de los subsistemas para gestionar la presencia o ausencia de aeronave. En estas
condiciones:
a) Obtener la función de densidad de Yi .
b) Cada subsistema envı́a al control central una señal de alarma (indicando que el sistema
piensa que hay presencia de aeronave) si la la medida recibida supera un cierto umbral µ.
Calcular el valor de este parámetro para que la probabilidad de falsa alarma (el sistema
detecta presencia de aeronave cuando no hay aeronave) en un subsistema cualquiera sea
igual a 0,6. Toma α = 2 y β = 1.
c) Para aumentar la fiabilidad, el control central sigue una estrategia de decidir presencia
de blanco si al menos M subsistemas (de los N posibles) han enviado señal de alarma.
En las condiciones del apartado anterior, calcula la expresión de la probabilidad de falsa
alarma del sistema, ası́ como su valor numérico si M = 60 y N = 100.
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