EJERCICIOS DE M´ETODOS ESTAD´ISTICOS

EJERCICIOS
DE
MÉTODOS ESTADÍSTICOS
CURSO 10 - 11
Métodos Estadı́sticos. ITIE
Curso 10/11
Hoja 1
1. El número de obleas de silicio defectuosas a lo largo de 26 dı́as de producción han sido:
2, 4, 6, 6, 4, 4, 5, 5, 4, 7, 3, 5, 4, 3, 3, 5, 6, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 4
a) Resuma la información anterior en una tabla de frecuencias.
b) Calcule la media, la varianza y la mediana del conjunto de datos.
c) Determine el valor del coeficiente de variación de Pearson.
2.- Para tener una buena imagen de la pantalla del ordenador es necesario que la tensión de la rejilla
metálica situada detrás de la pantalla no sea ni demasiado alta ni demasiado baja. Por este motivo,
durante la producción el fabricante controla la tensión de dicha rejilla. Los siguientes resultados
corresponden a estas mediciones sobre 300 rejillas:
Mediciones de la tensión
250 - 270
270 - 290
290 - 310
310 - 330
330 - 350
350 - 370
No de rejillas
120
70
50
30
20
10
a) Construya la tabla de las frecuencias relativas, frecuencias absolutas acumuladas y frecuencias
relativas acumuladas. b) ¿Qué porcentaje de rejillas de la muestra tienen una tensión inferior a 330?
¿Y una tensión superior o igual a 310? ¿Qué porcentaje de rejillas tienen una tensión comprendida
en el intervalo 270 ≤ X < 350?
c) Calcule la tensión media de las rejillas analizadas, la varianza, la desviación tı́pica y el coeficiente
de variación. ¿En qué intervalo se sitúa la mediana? ¿Cuál es el intervalo modal?
d) Represente gráficamente la variable mediante un histograma. Comente las caracterı́sticas más
relevantes de dicho histograma.
3.- Para el siguiente conjunto de datos:
26, 57, 32, 25, 48, 22, 48, 29, 19, 34, 24, 10, 16, 52, 76, 33, 31, 46, 24, 18
a) Construya un diagrama de tallo y hojas.
b) Comente, a partir de su forma, la posible simetrı́a de la distribución de los datos.
c) Calcule el valor del coeficiente de variación de Pearson.
4.- Durante una semana se ha contabilizado el número de horas que ha sido utilizada diariamente
la pista de tenis de cemento de un club deportivo, obteniéndose los siguientes datos:
4, 6, 5, 6, 8, 9, 11
a) Halle el coeficiente de asimetrı́a de Fisher.
b) Interprete el resultado.
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Hoja 2
5.- Los datos siguientes se refieren a la tasa de alfabetización de 21 paı́ses de América del Sur:
53, 55, 57, 73, 73, 78, 81, 83, 85, 87, 87, 88, 88, 88, 90, 93, 93, 94, 95, 96, 99
a) Construya el diagrama de cajas y bigotes.
b) ¿Hay datos atı́picos? En caso afirmativo, indique cuáles son.
6.- En el estudio de la relación entre el diámetro biacromial y el peso total levantado por atletas
de halterofilia, se eligieron cinco levantadores y se obtuvieron los datos de la tabla que figura
a continuación. (Se estableció el peso total levantado, en kilogramos, sumando el mejor intento
logrado en sentadilla, peso muerto y press de banca)
Y: Peso total levantado (kg)
X: Diámetro biacromial (cm)
500
38
630
40
710
43
720
45
790
46
a) Dibuje la nube de puntos para estos datos. Si considera adecuado el ajuste lineal, obtenga la
recta de regresión de Y sobre X.
b) Basándose en la ecuación de regresión obtenida, ¿cuál es el peso total levantado que se estima
para un levantador con diámetro biacromial de 40 cm. ¿Cuánto vale el residuo correspondiente a
esta observación?
c) Halle el coeficiente de correlación e interprete el resultado.
7.- Los datos siguientes se han obtenido experimentalmente para determinar la relación entre la
ganancia de corriente G y el tiempo de difusión X, en la fabricación de un determinado tipo de
transistor:
G
X (horas)
5,3
1,5
7,8
2,5
7,4
0,5
13,9
1,2
9,8
2,6
9,1
0,3
8,1
2,4
7,2
2,0
6,5
0,7
12,6
1,6
Se desea conocer:
a) Las rectas de regresión de G/X y de X/G.
b) El coeficiente de correlación de las dos variables.
c) La ganancia esperada para un tiempo de difusión de 2,2.
8- Ajuste por el método de mı́nimos cuadrados una parábola a la serie de datos:
X
Y
1
2
2
7
3
16
4
29
5
46
9.- La tabla siguiente muestra la concentración C de un medicamento en la sangre a las t horas de
haber sido administrado
t horas
C concentración µg/ml
1
70
2
52
a) Ajuste una función C = Ae−kt a los datos anteriores.
b) Estime el valor de t cuando C = 35,9 µg/ml.
3
39
4
29
5
21
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Hoja 3
10.- Un caballo de saltos ha realizado dos veces una prueba en cı́rculo en la que ha recorrido 250
metros con 6 saltos y 6 esfuerzos de un metro de altura. Posteriormente, tomando como referencia
la frecuencia cardı́aca y el nivel de lactatos en sangre que tenı́a antes de iniciar la prueba, se han
medido en distintos tiempos las variaciones de ambos parámetros. Los datos obtenidos son:
X: diferencias de frecuencias cardı́acas (lpm)
Y: diferencias de lactatos en sangre (mg/dl)
68
18,00
46
14,00
37
9,97
18
4,12
9
1,60
a) Ajuste una función Y = aX b a los datos anteriores.
b) Cuál serı́a la diferencia de lactatos en sangre que corresponderı́a a una diferencia de frecuencia
cardı́aca de 53 lpm?
c) ¿Y a una diferencia de frecuencia cardı́aca de 7 lpm? ¿Cabrı́a hacer alguna objeción a esta
estimación? En caso afirmativo, expóngala.
11.- Los ingresos por ventas de una determinada tienda de material deportivo se reflejan en la tabla
siguiente:
X
Y
1
3
2
4
4
11
7
25
10
80
donde X representa el número de años transcurridos desde su apertura e Y los ingresos obtenidos
(en cientos de miles de euros).
a) Ajuste una función Y = a ebX a los datos anteriores.
b) Estime los ingresos que tuvo a los seis meses de su inauguración.
12.- Se realiza un estudio para estimar la correlación entre la variable aleatoria X: valor de un cierto
ı́ndice de obesidad para cada individuo, y la variable aleatoria Y : tasa metabólica en reposo de cada
individuo. Se mide cada variable sobre 43 sujetos elegidos y se obtienen los siguientes valores:
P
P
P
x = 1482, 5
y = 10719
xy = 379207, 5
P 2
P 2
x = 53515, 25
y = 2736063
a) Obtenga la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X y estime la tasa metabólica en reposo
para un individuo cuyo ı́ndice de obesidad es de 50.
b) Calcule el coeficiente de correlación e interpretarlo.
13.- La probabilidad de que un jugador A marque un gol de penalti es de 5/6, mientras que
la probabilidad de que marque otro jugador B es 4/5. Si cada uno lanza un penalti, halle la
probabilidad de que:
a) Marque gol uno solo de los dos jugadores.
b) Al menos uno de ellos marque gol.
14.- La probabilidad de que un fármaco A surta efecto en la curación de cierta dolencia es 1/3 y la
de que surta efecto otro fármaco B es 1/4. Se suministran ambos a un enfermo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que éste mejore, sabiendo que los fármacos no tienen interacción
(son independientes)?
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Hoja 4
b) ¿Qué probabilidad hay de que el enfermo mejore por el efecto de uno sólo de los fármacos?
15.- Sean dos sucesos A y B de los que se sabe que P (A) = 1/2, P (A ∪ B) = 3/4 y P (B) = 5/8.
Calcule:
a) P (A ∩ B)
b) P (A ∩ B)
c)
P (A ∪ B)
d) P (B ∩ A)
16.- Consideremos dos sucesos A y B, con P (A) = 0, 5 y P (A ∪ B) = 0, 7. Se pide calcular P (B)
en cada uno de los siguientes supuestos:
a) A y B son independientes.
b) A y B son mutuamente excluyentes.
c) P (A|B) = 0, 5.
17.- En un determinado comercio la probabilidad de que se produzca un robo es del 10 %. Se instala
un sistema de alarma de modo que la probabilidad de que la alarma funcione si se produce el robo
es del 95 % y la probabilidad de que funcione sin haberse producido el robo es del 3 %. Se pide:
a) Probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no se haya producido ningún robo.
b) Probabilidad de que se haya cometido un robo y la alarma no funcione.
c) Probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma, se haya cometido un robo.
18.- De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: En el 23 % de
los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 65 % no se respetaron los lı́mites de
velocidad permitidos y en el 30 % de los casos se cumplı́an ambas normas, es decir, llevaban puesto
el cinturón y respetaban los lı́mites de velocidad.
a) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya cumplido alguna de las
dos normas.
b) Razone si son independientes los sucesos “llevar puesto el cinturón” y “respetar los lı́mites de
velocidad”.
19.- El volumen de producción diario en tres plantas diferentes de un laboratorio farmacéutico es
de 500 unidades en la primera, 1000 en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje
de unidades defectuosas producidas en las tres plantas es del 1 %, 0,8 % y 2 %, respectivamente,
determine la probabilidad de que:
a) Extraı́da una unidad al azar resulte no defectuosa.
b) Habiendo sido extraı́da una unidad defectuosa, proceda de la planta primera.
20.- En la entrada de una facultad hay tres fotocopiadoras A, B y C cuyos porcentajes de fallo son:
3 %, 5 % y 4 %, respectivamente. Un alumno entra en la Facultad y, como las tres fotocopiadoras
están libres, elige una al azar. Al llegar a clase observa que una fotocopia es defectuosa. ¿Cuál es
la probabilidad de que el alumno hubiese elegido la máquina B?
21.- En una urna hay x bolas blancas e y negras. Si sacamos 2 bolas, con reposición, la probabilidad
de obtener dos blancas es de 0,16. Si la extracción es sin reposición, la probabilidad de obtener 2
blancas es de 1/7. Determine el número de bolas, blancas y negras que hay en la urna.
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Hoja 5
22.- En una pequeña localidad el número de huelgas a lo largo del año es una variable que
según los resultados de los años anteriores sigue una función de probabilidad, cuya distribución
de probabilidad es:
X = xi
P (X = xi )
0
1/20
1
9/10
2
1/20
resto
0
a) ¿Por qué P es una función de probabilidad?
b) Calcule el número medio de huelgas y su desviación tı́pica.
c) Halle la función de distribución.
d) Probabilidad de que haya 2 huelgas ó que no haya ninguna.
e) Calcule la probabilidad de que un año haya 2 ó más huelgas en dicha localidad.
23.- El número de enfermos que ingresan en un hospital por urgencias en un dı́a cualquiera es una
variable aleatoria con la siguiente ley de probabilidad:
(
kx para x = 1, 2, ... , 20
P (X = x) =
5k para x = 21, 22, ... , 50
a) Halle el valor de k para que la ley anterior sea efectivamente una ley de probabilidad.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un dı́a ingresen más de 20 enfermos?
24.- Aun estando sometidos a control diario los artı́culos ofrecidos en unos grandes almacenes, se
estima que la probabilidad de que en un dı́a sean vendidos r artı́culos defectuosos es:
2 1 r
P (X = r) =
r = 0, 1, 2, ...
3 3
Determine la probabilidad de que en un dı́a elegido al azar sean vendidos:
a) Dos o más artı́culos defectuosos.
b) Cinco artı́culos defectuosos.
c) Tres artı́culos defectuosos o menos.
25.- La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X, es:
xi
P (X = xi )
0
0,2
1
a
2
b
3
0,25
Se sabe también que la media de X es 1,55.
a) Calcule los valores de a y b.
b) Halle la varianza de X.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome valores mayores que 1?
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Hoja 6
26.- La función de de probabilidad de una variable aleatoria discreta X viene dada por

r−1


para r = 2, 3, 4
6
P (X = r) =


0
para cualquier otro valor de r
Halle la media y la desviación tı́pica de X.
27.- La distribución de un error de medida de distancias con una estación total se distribuye
uniformemente entre 4 y 20 mm. Se considera inaceptable un error superior a 15 mm.
Calcule:
a) La probabilidad de que al realizar una medida, ésta sea inaceptable.
b) La probabilidad de que al realizar una medida, el error esté entre 5 y 10 mm.
28.- Un dispositivo electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que cualquier
circuito integrado esté defectuoso es 0,01 y los circuitos son independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos circuitos estén defectuosos?
b) ¿Cuál es el número medio de circuitos que se espera que estén defectuosos?
c) El dispositivo funciona si ningún circuito está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el
dispositivo funcione?
29.- La probabilidad de que un saltador de longitud salte más de 8 metros es 0,7. En una competición
debe realizar tres saltos y se clasifica para la ronda siguiente si supera los 8 metros en dos o más
de esos saltos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se clasifique?
b) Si el atleta no se ha clasificado, ¿cuál es la probabilidad de que en el primer salto haya hecho
más de 8 metros?
30.- Se supone que la probabilidad de tener un hijo albino en matrimonios normales portadores del
gen para el albinismo es 1/4. Calcule la probabilidad de que en una de estas familias, compuesta
por cinco hijo:
a) Ninguno sea albino.
b) Al menos uno sea albino.
c) Exactamente el primero y el tercero sean albinos y los demás no.
d) No más de dos sean albinos.
31.- En un proceso de fabricación, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es de 0.01. Si la
producción diaria es de 10000 piezas y se empaquetan en lotes de 100 unidades:
a) Calcule la probabilidad de que en un lote haya por lo menos dos piezas defectuosas.
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Hoja 7
b) Si un lote es rechazado cuando contiene más de 5 piezas defectuosas, ¿Cuantos lotes son
rechazados diariamente por término medio?
32.- Un cierto sistema electrónico contiene 10 componentes. Supongamos que la probabilidad de
que un componente falle es 0,3 y que los componentes fallan de manera independiente unos de
otros. Dado que al menos uno de los componentes ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que fallen
al menos dos de los componentes?
33.- Un agente de seguros vende pólizas individuales contra cierto tipo de accidentes. Una encuesta
estima que a lo largo de un año cada persona tiene una posibilidad de cada mil de ser vı́ctima de
un accidente del tipo que cubre la póliza y que el agente podrá vender una media de cuatro mil
pólizas de seguros de este tipo al año. Se pide:
a) Probabilidad de que el número de accidentes no pase de cuatro.
b) Número de accidentes esperados por año.
c) Probabilidad de que ocurran más de dos accidentes por año.
d) Probabilidad de que ocurran doce accidentes por año.
34.- La proporción de individuos daltónicos en una población es del 0,005 por ciento. Determine
la probabilidad de que, entre 5.000 individuos examinados, haya dos que presenten dicha anomalı́a
cromática.
35.- Una determinada planta nuclear desprende una cantidad detectable de gases radiactivos, un
promedio de dos veces al mes.
a) Halle la probabilidad de que no se produzcan tales emisiones durante un perı́odo de tres meses.
b) Halle la probabilidad de que haya, como máximo, cuatro de tales emisiones durante ese perı́odo.
c) ¿Cuál es el número esperado de emisiones durante tres meses? Si han sido detectadas 12 o más
emisiones, ¿puede pensarse que habrı́a que dudar del promedio de dos al mes?
36.- Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado
suero es de 0,001, determinar la probabilidad de que de un total de 2000 individuos tengan reacción:
a) Exactamente tres.
b) Más de dos individuos.
37.- Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento de
una hija. Calcule el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá el matrimonio.
Calcule la probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres hijos o más.
38.- Una variable aleatoria continua X tiene por función de densidad

2

 kx para 0 ≤ x ≤ 6
36
f (x) =


0
para cualquier otro x
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Hoja 8
a) Encuentre el valor de k para que f (x) sea función de densidad. Represéntela.
b) Halle la función de distribución de X.
c) Halle la media, varianza y desviación tı́pica.
d) Calcule las probabilidades siguientes:
P (0 < X ≤ 1)
P (X > 3)
P (|X| < 2)
P (X ≤ 1, 5)
39.- El porcentaje de contaminante presente en una muestra de aire es una variable aleatoria con
función de densidad dada por
f (x) =
(
a + bx2 para 0 < x < 1
0
para cualquier otro x
Si E(X) = 3/5, calcule el valor de a y b para que f sea función de densidad.
40.- La siguiente función de densidad muestra el tiempo en horas que se tarda en revisar y limpiar
una determinada máquina:
(
k x(2 − x) para 0 ≤ x ≤ 2
f (x) =
0
para cualquier otro x
Se pide:
a) Determine el valor de k.
b) Calcule P (|x − µ| ≤ 4 σ2 ).
41.- Se ha comprobado que un gran número de fenómenos naturales en Fı́sica, Biologı́a, Medicina,
Economı́a, etc., tienen asociada una variable aleatoria cuya función de densidad es

 ke−kx para 0 < x < ∞, k > 0
f (x) =
 0
para cualquier otro x
a) ¿Puede tomar k cualquier valor?
b) Represente la función para k = 0, 1 y halle la función de distribución y su gráfica. En este caso,
calcule:
c) P (X > 10).
d) P (50 < X ≤ 100)
42.- Sea X una variable continua cuya función de distribución está dada por:

16

 1−
para x > 2
x4
F (x) =


0
para cualquier otro x
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Curso 10/11
Hoja 9
a) Obtenga la función de densidad asociada a esta variable, ası́ como su media y varianza.
b) Calcule las probabilidades: P (X > 3), P (1 ≤ X < 3).
43.- La duración en años de los individuos de una población humana se asimila a una variable
aleatoria continua con función de densidad

1 −x/60


e
para x > 0
60
f (x) =


0
para cualquier otro x
a) Calcule la función de distribución de la variable y la vida media de la población .
b) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a los 65 años un individuo que ya tiene 50 años?
44.- Si X sigue una distribución normal de media 10 y desviación tı́pica 2, se pide:
a) P (X ≤ 12)
b) P (|X| ≤ 3)
c) P (|X − 10| ≤ 1)
d) El valor de a para que P (|X − 10| ≤ a) = 0, 95.
45.- Las marcas obtenidas en el lanzamiento de jabalina por un atleta de decathlon se distribuyen
normalmente, con media 58 m y desviación tı́pica 3,9 m.
a) Calcule la probabilidad de que obtenga un lanzamiento de más de 65 m.
b) En una tanda de 50 lanzamientos, ¿cuántos de ellos estarán entre 60 y 62 m?
c) ¿Cuál es la longitud máxima que solo es superada por el 5 % de sus lanzamientos?
46.- Unos laboratorios farmacéuticos almacenan en una nave cierto tipo de comprimidos que
producen en dos plantas de fabricación. El 65 % procede de la planta A y el 35 % de la planta
B. El peso, en miligramos, de los comprimidos procedentes de A sigue una distribución N (746, 15)
y el peso de los comprimidos de B sigue una distribución N (754, 22).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un comprimido de la planta A, elegido al azar, pese entre 751 y
760 mg.
b) Si un comprimido elegido al azar en la nave de almacenamiento tiene un peso superior a 745
mg, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en la planta A?
47.- En una fábrica que envasa agua mineral, se ha establecido que el volumen envasado por la
máquina automática sigue una distribución normal de media 150 cl y de desviación tı́pica 2 cl.
a) Los criterios de calidad de la empresa implican que no se venda una botella que contenga menos
de 147 cl. ¿Cuál es la proporción de botellas en la producción que no se puede vender?
b) Las botellas se empaquetan por 6 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que un paquete contenga
al menos una botella con menos de 147 cl?
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Hoja 10
c) En un dı́a se producen 10000 botellas ¿cuál es la probabilidad de que haya en un dı́a más de 600
botellas invendibles?
d) Utilizando el apartado anterior, ¿cuál es, en un mes de 30 dı́as, el número medio de dı́as en los
que se producen más de 600 botellas invendibles
48.- En una cierta prueba, el 35 por ciento de la población examinada obtuvo una nota superior a
6; el 25 por ciento, entre 4 y 6, y el 40 por ciento, inferior a 4. Suponiendo que las notas siguen una
distribución normal, halle la nota media y la desviación tı́pica. ¿Qué porcentaje de la población
tiene una nota que se diferencie de la media en menos de dos unidades?
49.- ¿Cuál serı́a la probabilidad de que en 1000 tiradas de un dado salga, por ejemplo, el número
5, más de 150 veces y menos de 200?
50.- El diámetro de una válvula cardı́aca en una especie animal se distribuye normalmente con
media de 3,5 mm y una desviación tı́pica de 0,04 mm.
a) ¿Cuál es la proporción de válvulas con un diámetro mayor de 3,425?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una válvula tenga un diámetro entre 3,4 y 3,6 mm?
c) ¿Cuál es el valor del diámetro por debajo del cual se encuentra el 20 por ciento de las válvulas?
51.- La profundidad a la que descienden en apnea libre los buceadores de cierto club puede
aproximarse por una distribución normal de media 35 metros y desviación tı́pica 18 metros.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un buceador de dicho club elegido al azar descienda a más de
40 metros?
b) Si el club está formado por 25 buceadores, ¿cuánto de ellos alcanzarı́an, al menos, una
profundidad de 53 metros?
c) Si se selecciona un buceador del club al azar ¿cuál será la profundidad mı́nima a la que debe
bajar para estar dentro del 5 % de los que descienden a más profundidad?
d) Para una muestra aleatoria de 9 buceadores, ¿cuál es la probabilidad de que la profundidad
media muestral esté comprendida entre 40 y 50 m?
52.- Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo sigue
una distribución N (71, 7), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los 300Kg.
53.- De una población normal se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 9 cuyos valores se
presentan en la siguiente tabla:
165
162
166
164
165
170
169
165
168
Obtenga el intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del 98 %.
54.- Se desea estimar la proporción de jóvenes que fuman regularmente. De 1000 jóvenes
entrevistados, 200 fumaban regularmente.
a) Encuentre una estimación puntual para p.
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Hoja 11
b) Obtenga un intervalo de confianza del 99 % para la proporción de jóvenes que fuman
regularmente. ¿Le sorprenderı́a leer un artı́culo que diga que esta proporción es de 0,23? Justifı́quelo.
55- La velocidad final en la prueba de 100 metros para escolares entre 10 y 12 años es una variable
normal. Para estimar la velocidad media final se tomó una muestra de 28 alumnos y se obtuvo
una media muestral de 25 km/h con una cuasidesviación tı́pica de 4 km/h. Halle un intervalo de
confianza para la velocidad final media, al 99 % de confianza.
56.- Un almacén de reparaciones recibió un embarque de 100 motores defectuosos. El tiempo medio
de reparación de una muestra de diez motores fue de 85 minutos, con una cuasidesviación tı́pica de
15.
a) Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio necesario para cada motor.
b) ¿Cuánto tiempo se tardarı́a a lo sumo en reparar todos los motores con el anterior nivel de
confianza?
c) ¿Se podrı́a afirmar, con una confianza del 95 %, que la varianza de los tiempos de reparación es
121?
57.- El porcentaje de calcio observado en dientes sanos de 10 individuos de una especie animal es:
36,6
35,9
35,6
35,4
34,9
36,5
35,6
35,2
35,6
35,4
Se pide:
a) Intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje medio de calcio.
b) ¿Se podrı́a aceptar que el porcentaje medio de calcio es igual a 36?
c) Intervalo de confianza del 95 % para la varianza de dicho porcentaje.
d) ¿Se podrı́a aceptar que la varianza de dicho porcentaje es igual a 1,5?
58.- Un partido polı́tico pretende conocer su intención de voto de cara a las próximas elecciones.
Para ello encarga un sondeo sobre un total de 230 personas, de las que 69 contestan que le votarı́an.
a) Halle un intervalo de confianza al 90 % para la verdadera proporción poblacional, indicando las
hipótesis asumidas.
b) Si el intervalo resultó ser (0,243; 0,357), ¿cuál fue el nivel de confianza elegido?
c) Si el partido quisiera un intervalo de confianza al 90 % y cuya longitud no excediera de 0,15,
¿cuál serı́a el tamaño muestral necesario?
59.- Una agencia de alquiler de automóviles necesita estimar el número medio de kilómetros diarios
que realiza su flota de automóviles; a tal fin, en varios dı́as de la semana toma los recorridos de
cien vehı́culos de su flota y obtiene que la media muestral es de 165 km/dı́a, y la cuasidesviación
tı́pica muestral 6Km/dı́a.
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Curso 10/11
Hoja 12
Se pide:
a) Bajo la hipótesis de normalidad de la caracterı́stica en estudio (Número de kilómetros por dı́a),
construya un intervalo de confianza para la media de dicha distribución a un nivel de confianza del
95 %
b) Bajo la misma hipótesis anterior, pero tomando n = 30, construya un intervalo de confianza del
90 % para la desviación tı́pica de dicha distribución.
60.- En una determinada marca de cigarrillos se efectúa un experimento para comprobar el contenido
en alquitrán; a tal fin se prueban veinte cigarrillos elegidos al azar de lotes diferentes. Se encuentran
los siguientes datos muestrales para el contenido de alquitrán:
x0 = 22 mg
s0 = 4 mg
Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el contenido medio de alquitrán en un cigarrillo de
la citada marca.
61.- Una central de transformación de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas.
Deseando estudiar la calidad de los productos recibidos se extraen dos muestras al azar y se analiza
el contenido en materia grasa, obteniéndose los siguientes resultados expresados en tanto por ciento:
Granja A
xA = 8, 7 %
s2A = 1, 02( %)2
nA = 33
Granja B
xB = 10, 9 %
s2B = 1, 73( %)2
nB = 27
Construya un intervalo de confianza del 95 % para la diferencia del contenido medio en grasa de
leche de ambas granjas. Interprete el resultado.
62.- Mientras que el encargado A obliga a sus trabajadores a estar en todo momento en la obra
con el casco puesto, el encargado B no presta atención a eso. Al final de cada año, se contabilizan
el número de accidentes laborales correspondientes a las obras que supervisa cada uno de ellos.
Durante los últimos 10 años se obtuvieron los siguientes resultados:
A
B
1998
71
74
1999
76
79
2000
65
86
2001
69
80
2002
72
71
2003
66
62
2004
68
79
2005
71
75
2006
74
67
2007
68
77
¿Se puede afirmar, al 90 %, que el número medio de accidentes entre los trabajadores a las órdenes
del encargado B es mayor que entre los trabajadores del encargado A?
63.- Dos atletas que compiten en la prueba de los 200 metros lisos desean comparar los tiempos en
los que la pueden realizar. Para ello toman muestras aleatorias independientes. El atleta A corre en
11 ocasiones y obtiene una media de 20,01 segundos, con una cuasidesviación tı́pica de 0,1 segundo.
El atleta B corre en 16 ocasiones con un tiempo medio de 19,9 segundos y una cuasidesviación
tı́pica de 0,18 segundos.
a) Calcule un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia de tiempos medios empleados por
ambos atletas en la prueba.
b) ¿Se podrı́a afirmar que el atleta B es más rápido que el atleta A? Justificarlo.
64.- Una empresa fabrica neumáticos mediante un proceso productivo 1. Se sospecha que un proceso
productivo 2, de reciente descubrimiento, da lugar a un menor consumo de caucho. Se hace uso de
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Hoja 13
una muestra aleatoria formada por 10 neumáticos fabricados por el procedimiento A y 16 fabricados
por el procedimiento B, midiéndose en ambos casos la cantidad de caucho utilizado por neumático.
Los resultados obtenidos fueron:
X 1 = 5000 gr
s21 = 121 gr2
s22 = 144 gr2
X 2 = 4980 gr
Bajo los supuestos de normalidad en la distribución de los consumos de caucho, calcule un intervalo
de confianza al 95 % para la diferencia de cantidades de caucho utilizado en los neumáticos
fabricados con ambos procesos. ¿Se podrı́a afirmar, con ese nivel de confianza, que el consumo
de caucho es menor en los neumáticos fabricados con el proceso 2?
65.- Se analiza la proporción de productos defectuosos fabricados por dos lı́neas de producción.
Una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la lı́nea 1 contiene 10 que son defectuosas,
mientras que una muestra aleatoria de 120 unidades de la lı́nea 2 tiene 25 que son defectuosas.
Halle un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia de proporciones de productos defectuosos
producidos por las dos lı́neas. Interprete el resultado.
66.- La tabla siguiente presenta los datos de predicciones sobre la resistencia al corte de nueve vigas
de acero, mediante los métodos de Karlsruhe y de Lehigh.
Viga
Karlsruhe
Lehigh
1
1,186
1,601
2
1,151
0,992
3
1,322
1,063
4
1,339
1,602
5
1,200
1,605
6
1,402
1,178
7
1,365
1,037
8
1,537
1,086
9
1,559
1,052
Se desea determinar si existe alguna diferencia (en promedio) entre los dos métodos, calculando un
intervalo de confianza del 95 %.
67.- Se desea comparar dos métodos para predecir el tiempo de acceso a una determinada base
de datos. Con este fin se mide el tiempo de acceso a nueve bases de datos para cada uno de los
métodos. Los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla:
Base de datos
Método A
Método B
1
1,2
1,1
2
1,1
1,0
3
1,3
1,1
4
1,3
1,1
5
1,2
1,2
6
1,4
1,2
7
1,4
1,0
8
1,5
1,3
9
1,6
1,2
Asumiendo que ambas poblaciones son normales, construya un intervalo de confianza al 95 %, para
la diferencia entre el tiempo de acceso promedio de ambos métodos. Interprete el resultado.
68.- Una empresa afirma que la duración media de los tubos fluorescentes que fabrica es superior
a 1600 horas. Por experimentos anteriores, se sabe que la desviación tı́pica de la población es
120 horas. Una muestra aleatoria de 100 tubos ha dado una media muestral de 1570 horas. ¿Hay
evidencia, al nivel de significación α = 0, 01, de que es cierta la afirmación de la empresa.
69.- El tiempo de reacción de un individuo tras recibir una descarga eléctrica de muy baja intensidad
es una variable aleatoria con distribución normal de media 2,8 segundos. Se piensa que este tiempo
es menor en operarios del sector eléctrico. Una muestra aleatoria de nueve de ellos ha dado los
siguientes resultados resultados:
2,2
2,3
2,6
2,4
2,5
2,3
2,6
2,4
2,3
¿Puede aceptarse la hipótesis del enunciado con un nivel de significación de 0,10?
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Hoja 14
70.- En una ciudad, una muestra de 150 motoristas ha dado como resultado que 17 de ellos
circulaban sin el casco reglamentario. Las autoridades locales consideran que debe iniciarse una
campaña de concienciación sobre su uso cuando más del 10 % de los motoristas no lo utilice. Se
quiere determinar si hay evidencia suficiente, al nivel de significación α = 0, 05, para poner en
marcha la campaña.
71.- En un estudio sobre capacidad aeróbica (medida en minutos recorridos sobre una cinta hasta
agotarse) de ciertos practicantes seleccionados de un deporte, se deseaba controlar la varianza
porque si ésta era superior a 20 se considerarı́a que la selección previa de los atletas estaba mal
hecha. Extraı́da una muestra de 8 atletas se obtuvieron las siguientes capacidades:
14
20
12
28
15
14
18
20
¿Puede afirmarse con un nivel de significación del 5 % que la selección de los deportistas está mal
hecha?
72.- El contenido medio en proteı́nas del tejido muscular estriado en un análisis de 25 animales
de cierta raza de ganado vacuno es de 14 g por cada 100 g de tejido, con una cuasidesviación
tı́pica de 2 g, mientras que para el mismo número de animales de otra raza es de 14,5 g con una
cuasidesviación tı́pica de 3 g. Determine si las varianzas son iguales con una confianza del 95 %,
suponiendo que la distribución del contenido en proteı́nas es aproximadamente normal.
73.- En la convocatoria de febrero de 2008, el porcentaje de alumnos de CAFD que aprobó Análisis
de Datos fue del 56 % de los presentados a examen. Las previsiones indican que a la convocatoria
de febrero de 2009 se van a presentar 82 alumnos. ¿Cuántos de estos deben aprobar, como mı́nimo,
para poder afirmar, al nivel de significación 0, 025, que el porcentaje de aprobados en esta asignatura
ha aumentado respecto al curso anterior?
74.- En una cierta ciudad, se cree que el porcentaje de partidarios de que al final de cada partido
se efectúe el control antidopaje a todos los jugadores es mayor entre los aficionados del fútbol que
entre los del baloncesto. Los resultados de dos muestras aleatorias extraı́das de dichos colectivos
fueron:
Fútbol
Baloncesto
Tamaño de la muestra
1550
560
Partidarios del control antidopaje
682
224
¿Se puede afirmar, al nivel de significación del 5 %, que es cierta dicha creencia?
75.- Una muestra de 200 bombillas de la marca A dio una vida media de funcionamiento de 2280
horas, con una cuasidesviación tı́pica de 80,2 horas. Otra muestra de 180 bombillas de la marca
B dio de vida media 2320 horas, con una cuasidesviación tı́pica 100,3 horas. ¿Se puede afirmar, al
nivel 0,01, que es mayor la vida media de las bombillas de la marca B?
76.- Para contrastar si dos métodos de entrenamiento para la prueba de salto de altura producen
resultados equivalentes se seleccionaron aleatoriamente 9 atletas. A 5 de ellos se les aplicó el método
A y a 4 el B. Se midió la ganancia en cm obtenida después de seis meses de entrenamiento. Los
datos fueron los siguientes:
Método A
Método B
5
4
8
6
4
5
6
5
7
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Hoja 15
¿Se puede afirmar con un nivel de significación del 5 % que los dos métodos son iguales? Razone la
respuesta.
77.- Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos. Desea saber si el primer
diseño produce un flujo de corriente mayor que el segundo. Para ello, el departamento de ingenierı́a
ha obtenido de dos muestras aleatorias los siguientes datos:
Diseño 1
Diseño 2
n1 = 15
n2 = 10
s21 = 9
s22 = 42, 25
X 1 = 24, 2
X 2 = 23, 9
Compruebe si puede concluirse a partir de estos datos, al nivel de significación del 5 %, que el flujo
de corriente es mayor en los microcircuitos del diseño 2. (Se supone normalidad en los datos).
78.- En las aguas en las que se practica la recogida de la almeja el número máximo aceptable de
bacterias por cm3 es 70. Un valor medio superior a 70 puede ser peligroso (hay riesgo de contraer
hepatitis). Un grupo de cientı́ficos mide el número de bacterias en una muestra aleatoria de tamaño
9, obteniendo
69
74
75
70
72
73
71
73
68
¿Pueden afirmar que las aguas son realmente peligrosas, con un nivel de confianza del 95 %?
79.- Se cree que en una remesa de 3000 brocas son defectuosas menos del 2 %. Para ello, se toma una
muestra aleatoria de 200, entre las cuales 6 han resultado defectuosas. Contraste dicha hipótesis al
nivel de significación 0,05.
80.- En un reciente estudio de lesiones de rodilla entre jugadores de fútbol que juegan sobre
césped, se compararon dos tipos de calzados. En 266 jugadores que calzaban zapatos de fútbol
multiabrazados, se presentaron 14 lesiones de rodilla. De 2055 jugadores que calzaban botas de
fútbol convencionales, se encontraron 162 de tales lesiones. ¿Se puede afirmar al nivel del 0,05 que
la probabilidad de sufrir una lesión de rodilla cuando se calzan botas convencionales es más alta
que la de sufrirla con zapatos multiabrazados? ¿Y al nivel de 0,01?
81.- Se ha realizado un estudio para comparar la concentración de plomo en el agua de dos casas.
Los datos de las muestras son:
Casa 1:
Casa 2:
n1 = 25
n2 = 25
x1 = 390 ppb
x2 = 10 ppb
s1 = 217, 5 ppb
s2 = 5 ppb
Se cree que la concentración media de plomo en el agua de la Casa 1 supera a la de 2. Contraste
esta hipótesis al nivel del 0,1.
82.- Se comparan dos métodos de medición de la resistencia al impacto de un cierto tipo de plástico.
Los datos de diez piezas sometidas a ellos son
Pieza
Método A
Método B
1
1,46
1,41
2
1,31
1,29
3
1,63
1,59
4
1,29
1,27
5
2,11
2,13
6
1,41
1,39
7
1,81
1,79
8
1,76
1,73
9
1,52
1,49
10
1,37
1,35
Se desea saber si existen diferencias significativas entre los valores medios de las mediciones
obtenidas con ambos métodos, al nivel de significación 0,01.