Unidad imaginaria Número complejo en forma binómica

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Tema 4.- Números Complejos
Unidad imaginaria
Se llama así al número
-1 y se designa por la letra i.
Número complejo en forma binómica
C = a+ bi a , b ∈ R
a + b·i
→
a: parte real → a = 0 → Número imaginario puro (bi)
b: parte imaginaria → b = 0 →Número real (a)
Opuestos
Conjugados
a + b·i  − a – b·i
z = a + b·i  z = a − b·i
Iguales
z = a + b·i  z = a + b·i
siendo a y b iguales
Representación gráfica
Y
Eje
Imaginario
Afijo del nº
complejo
b
z =a + b·i

a
X
Eje Real
Potencias de la unidad imaginaria
i0 = 1
i2 = −1
i4 = 1
i1 = i
i3 = −i
i5 = i
Operaciones
Suma y diferencia
a + bi + c + di = a + c + b + d i
a + bi - c + di = a - c + b - d i
Propiedad Conmutativa
Propiedad Asociativa
z1 + z2 = z2 + z1
z1 + z2 + z3 = z1+ z2 + z3
Elemento Neutro
Elemento Opuesto
z1 + 0 = 0 + z1 = z 1
z1 +(-z) = 0
1
á
á
2
Matemáticas _ B_ 1º Bach.
Multiplicación
a + bi · c + di = ac - bd + ad + bc i
Propiedad Conmutativa
Propiedad Asociativa
z1 · z2=z2 · z1
z1 · z2 · z3=z1 · z2 · z3
Elemento Neutro
Elemento Inverso
z1 · 1 = 1 · z1 = z1
Para todo Z ∈ C: ∃
1
z
z·
1
=1
z
Cociente
a + bi
a + bi ·(c - di)
ac + bd + bc - ad i ac + bd bc - ad
=
=
=
+
i
2
2
2
c + di
c + di ·(c - di)
c2 + d
c2 + d
c2 + d
Nº Complejos en forma Polar y Trigonométrica
Módulo
De un C es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
z = a + bi → r = z = a2 + b
2
Argumento
De un C es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg (z)
arg (z)= α → z = rα
α = arctg
b
a
a = r cos α
b = r sen α
Resumen
Binómica
Z = a + bi
Polar
Z = r
Trigonométrica
Z = r (cos  + i sen )
Producto de Complejos en forma Polar
rα · r´β = r · r´
α +β
Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un C (z = r) por 1β se gira z un β alrededor del origen.
rα · 1β = rα + β
Cociente de Complejos en forma Polar
rα
r
=
r´β
r´
α-β
Potencia de Complejos en forma Polar
rα n = r
n
nα
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Tema 4.- Números Complejos
Números Complejos Iguales, Conjugados y Opuestos
Iguales
rα = r´α´ ↔
r = r´
α´= α + 2πk
Conjugados
rα conjugado r´α´ ↔
Opuestos
r = r´
α´= -α + 2πk
rα opuesto r´α´ ↔
r = r´
α´= α+π +2πk
r
Opuesto
Conjugado
r-
r + x
Fórmula de Moivre
r cos α +i sen α
n = rn
cos n α + i sen n α
Raíz n-ésima de Complejos en forma Polar
Siempre en forma polar: z = rα
r´= n r
α´=
α + 2πk
n
k = 0, 1, 2, 3, ⋯ n-1