formulario complejos

FORMULARIO NÚMEROS COMPLEJOS
Unidad imaginaria. Es el número
 −1 y
Potencias de i:
Paso de forma binómica a polar:
se designa por i
i 0=1 , i 1=i , i 2=−1 , i 3=−i , i 4 =1 , i 5=i ...
Números complejos: Son aquellos que se pueden escribir de la forma abi , donde a y
i 254 =i 4 63⋅i 2 =1−1=−1
b son números reales e i la unidad imaginaria.
Operaciones con números complejos:
a= Re(z) es la parte real
b=Im(z) es la parte imaginaria
• Suma abicdi=acbd i
• Resta abi−cdi=a−cb−d i
El conjunto de todos los números complejos se designa por
• Producto abicdi=ac−bdadbc i
ℂ y se define como ℂ:= { z=abi / a , b∈ ℜ }
abi abic−di
=
=...
• División
cdi cdic−di
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma
parte real y la misma parte imaginaria:
Números complejos en forma polar: r 
abi =a' b' i  a=a' y b=b'
Forma binómica de un número complejo:
r=∣z∣ Es el módulo de un número
z=abi
r=∣z∣= a2b 2

b
b
tg =  =arctg
a
a
Paso de forma polar a binómica:
a=r cos 
b=r sen 
Forma trigonométrica:
z=abi=r cos r sen i=r cos i sen 
Producto de números complejos en forma polar:
r ⋅r '  ' =r⋅r '  '
Cociente de números complejos en forma polar:
r
r
=
r '' r '
 
− '
complejo.
 Es el argumento del número
Potencias de números complejos:
Si b=0  z=a es un número real.
n
complejo,
que se puede expresar en graSi b≠0 y a=0 z=bi , es un número imaginario puro.
r α  =r ⋅r ⋅r ⋅... r =r ·r · r ·... · r...=r nn 

dos o en radianes. Dos números comn veces
plejos son iguales si tienen el mismo
Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma binómódulo y el mismo argumento.
mica: * opuesto: −z =−a−bi
Fórmula de Moivre:
* conjugado: 
z =a−bi
z n=r  n =r n cos ni sen n  Si r =1, es muy útil
r
=r
'

r=r
'
y
=
'
k
·
360º
k
∈
ℤ

'
1
−1 1
en trigonometría:
* inverso: z = =
Tomaremos siempre ∈[ 0,360 º )
z abi
n
n

1 =cos i sen  =cos n i sen n
Representación de números complejos
ℂ:= { P a , b / a ,b∈ℜ } A cada número complejo
z=a+bi se le hace corresponder el punto P(a,b), que se llama
afijo del número complejo.
Conjugado, opuesto e inverso de un número en forma polar:
Raíces de números complejos:
• opuesto: −z=r 180º
•
•
z =r −
1 10º 1
−1 1
inverso: z = = =
=
z r r 
r
conjugado:
n r =  n r  360º k

n
−
r
Siendo k = 0, 1, 2,.., (n-1)
n
Los afijos de 
r  son los
vértices de un polígono regular
de n lados inscrito en una cirn
cunferencia de radio 
r
Formula del binomio de Newton
r 
r −
n

a bin = ∑ n a n −k bi k
k =0 k