θ
sin (θ)
cos (θ)
tan (θ)
csc (θ)
sec (θ)
cot (θ)
0
0
1
0
undefined
1
undefined
π
6
1
2
√
√
2
√2
3
π
4
π
3
π
2
2π
3
√
2
2
3
2
√
2
2
√
√
1
2
1
0
undefined
− 12
√
− 3
√
3
2
−
√
2
2
5π
6
1
2
−
√
3
2
π
0
7π
6
− 12
√
5π
4
−
√
2
2
4π
3
−
√
3
2
3π
2
√
1
3
2
2
2
3π
4
3
3
−1
5π
3
−
√
3
2
7π
4
−
√
2
2
11π
6
− 12
2π
0
−1
−
√
3
2
−
√
2
2
− 12
3
2
√
2
√2
3
2
1
undefined
√2
3
−2
−
√
3
3
undefined
−1
undefined
3
3
−2
− √23
1
√
− 2
√
− 2
− √23
−2
0
√
√
3
1
2
√
− 3
− √23
2
-1
√
− 2
√
1
0
√
− 3
3
3
undefined
3
2
3
3
− √23
√
−1
√
√
2
−
undefined
2
2
1
−1
2
0
√
3
√
− 2
−1
√
√
−
√
3
3
0
1
2
−2
√2
3
undefined
1
√
3
1
√
3
3
0
−
√
3
3
-1
√
− 3
undefined
Other useful properties and identities:
2 tan θ
1 − tan2 θ
¯
¯ r
¯ θ¯
¯sin ¯ = 1 − cos θ
¯ 2¯
2
r
¯
¯
¯
¯
¯cos θ ¯ = 1 + cos θ
¯
2¯
2
sin (−θ) = − sin (θ)
tan (2θ) =
cos (−θ) = cos (θ)
tan (−θ) = − tan (θ)
sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1
tan2 (θ) + 1 = sec2 (θ)
1 + cot2 (θ) = csc2 (θ)
tan
θ
1 − cos θ
sin θ
=
=
2
sin θ
1 + cos θ
sin(θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ
1 − cos θ
2
1 + cos θ
cos2 θ =
2
sin2 θ =
cos(θ + φ) = cos θ cos φ − sin θ sin φ
tan θ + tan φ
tan(θ + φ) =
1 − tan θ tan φ
sin(θ − φ) = sin θ cos φ − cos θ sin φ
cos(θ − φ) = cos θ cos φ + sin θ sin φ
tan θ − tan φ
tan(θ − φ) =
1 + tan θ tan φ
sin θ cos φ =
1
[sin(θ + φ) + sin(θ − φ)]
2
1
[sin(θ + φ) − sin(θ − φ)]
2
1
cos θ cos φ = [cos(θ + φ) + cos(θ − φ)]
2
1
sin θ sin φ = [cos(θ − φ) − cos(θ + φ)]
2
cos θ sin φ =
sin (2θ) = 2 sin (θ) cos (θ)
cos (2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ)
= 1 − 2 sin2 (θ)
= 2 cos2 (θ) − 1
Inverse Trigonometric Functions
Function
Domain
y = sin−1 x
−1 ≤ x ≤ 1
y = cos−1 x
−1 ≤ x ≤ 1
y = tan−1 x
−∞ < x < ∞
y = cot−1 x
−∞ < x < ∞
y = sec−1 x
(−∞, −1] ∪ [1, ∞)
y = csc−1 x
(−∞, −1] ∪ [1, ∞)
2
Range
− π2 ≤ y ≤
π
2
0≤y≤π
− π2 < y <
π
2
0<y<π
£
£
¢ £
¢
0, π2 ∪ π, 3π
2
¢ ¡
¤
− π2 , 0 ∪ 0, π2
0
