1. Variantes de una condicional

1.
Variantes de una condicional
Enunciado del problema
Para cada una de la siguientes afirmaciones escriba la variante de la condicional que se pide. Cuando aplique,
desarrolle la negación de una conjunción. Quizá algunos conceptos no los conozca, pero no le harán falta.
1. Para la afirmación:
Si la matriz A cumple D A D = D, entonces para cualquier sistema consistente D x = b la expresión
A b da una solución.
Redacte en palabras su inversa.
2. Para la afirmación:
Si todo valor propio de D es real y para cada valor propio de D la dimensión geométrica es igual a la
dimensión algebraica, entonces D es diagonalizable.
Redacte en palabras su recı́proca.
3. Para la afirmación:
Si ∇f (xo ) = 0 y Hf (xo ) tiene todos sus valores propios negativos, entonces xo corresponde a un
máximo relativo de f (x).
Redacte en palabras su contrapositiva.
Solución
1. Sean
p: la matriz A cumple D A D = D
q: para cualquier sistema consistente D x = b la expresión A · b da una solución.
La condicional es p → q. Su inversa es ¬p → ¬q. Negemos las proposiciones:
¬p: la matriz A no cumple D A D = D
¬q: existe un sistema consistente D x = b para el cual la expresión A b no da una solución
Ası́ la inversa quedarı́a:
Si la matriz A no cumple D A D = D, entonces existe un sistema consistente D x = b para
el cual la expresión A · b no da una solución.
2. Sean
p: todo valor propio de D es real
q: para cada valor propio de D la dimensión geométrica es igual a la dimensión algebraica
r: D es diagonalizable
La condicional es (p ∧ q) → r. Su recı́proca queda r → (p ∧ q) Ası́ la Su recı́proca quedarı́a:
Si D es diagonalizable, entonces todo valor propio de D es real y para cada valor propio de
D la dimensión geométrica es igual a la dimensión algebraica.
3. Sean
p: ∇f (xo ) = 0
q: Hf (xo ) tiene todos sus valores propios negativos
r: xo corresponde a un máximo relativo de f (x)
La condicional es (p ∧ q) → r. Su contrapositiva es ¬r → (¬p ∨ ¬q). Negemos las proposiciones:
¬p: ∇f (xo ) 6= 0
¬q: Hf (xo ) tiene al menos un valor propio no negativo
¬r: xo no corresponde a un máximo relativo de f (x)
Ası́ la contrapositiva quedarı́a:
Si xo no corresponde a un máximo relativo de f (x), entonces ∇f (xo ) 6= 0 o bien Hf (xo )
tiene al menos un valor propio no negativo.
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