Para qué valor(es) de c la matriz siguiente
1 0 0
0 1 0
A=
0 0 c
0 0 0
no es diagonalizable:
0
0
1
5
Solución
El polinomio caracterı́stico de A es:
pA (t) = (t − 5) · (t − 1)2 · (t − c)
por lo tanto, sus raı́ces son λ1 = 1, λ2 = 5 y λ3 = c. Para el análisis distinguiremos tres casos.
c diferente de 1 y de 5.
En este caso los valores propios serán λ1 = 1 con dimensión algebraica 2,
λ2 = 5 con dimensión algebraica 1, y λ3 = c con dimensión algebraica 1.
Como las dimensiones geométricas son al menos 1, entonces el punto clave
es calcular la dimensión geométrica de λ1 = 1:
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
[A − (1) · I|0] =
0 0 c−1
1
0
0 0
0
5−1 0
Sin necesidad de aplicar rref, vemos que la matriz tiene dos columnas a
la izquierda sin pivote. Por lo tanto, la dimensión geométrica de λ1 = 1
es por lo menos dos, como no puede ser mayor que dos (el tope es la
dimensión algebraica), debe ser dos. Ası́ para todos los valores propios hay
concidencia entre las dimensiones algebraica y geométrica. Por tanto: para
c diferente de 1 y de 5, A sı́ es diagonalizable.
c=1
En este caso los valores propios serán λ1 = 1 con dimensión algebraica 3 y
λ2 = 5 con dimensión algebraica 1. Como las dimensiones geométricas son
al menos 1, entonces el punto clave es calcular la dimensión geométrica de
λ1 = 1:
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
[A − (1) · I|0] =
0 0 0=1−1
1
0
0 0
0
5−1 0
Sin necesidad de aplicar rref, vemos que la matriz tiene tres columnas a
la izquierda sin pivote. Por lo tanto, la dimensión geométrica de λ1 = 1
es por lo menos tres, como no puede ser mayor que tres, debe ser tres.
Ası́ para todos los valores propios hay concidencia entre las dimensiones
algebraica y geométrica. Por tanto: para c = 1, A sı́ es diagonalizable.
c=5
En este caso los valores propios serán λ1 = 1 con dimensión algebraica 2 y
λ2 = 5 con dimensión algebraica 2. Calculemos sus dimensiones geométricas. Para la dimensión geométrica de λ1 = 1 tenemos:
0
0 0
0
0
0 0
0
0
0
[A − (1) · I|0] =
0 0 5−1
1
0
0
0
0
5−1
0
Sin necesidad de aplicar rref, vemos que la matriz tiene dos columnas a
la izquierda sin pivotes. Por lo tanto, la dimensión geométrica de λ1 = 1
es por lo menos dos, como no puede ser mayor que dos, debe ser dos: hay
concidencia entre las dimensiones algebraica y geométrica para λ1 = 1.
Para la dimensión geométrica de λ2 = 5 tenemos:
1−5
0
0 0 0
0
1−5 0 0 0
[A − (5) · I|0] =
0
0
0 1 0
0
0
0
0
0
Sin necesidad de aplicar rref, vemos que la matriz está escalonada y tiene
una columna a la izquierda sin pivote. Por lo tanto, la dimensión geométrica
de λ2 = 5 es 1, como no coincide con la dimensión algebraica, entonces
A tiene un valor propio donde no hay coincidencia entre las dimensiones
algebraica y geométrica: A no es diagonalizable.
En resumen c = 5 es el único valor para el cual A no es diagonalizable.
0
