Solución segundo parcial 2013 Archivo - Eva

Matemática 2
Segundo Parcial
Universidad de la República
Centro Universitario de la Región Este
Curso 2013
1.
λ1,2 = 1 doble, con vector propio asociado ~v1 = (−y − z, y, z)
(a) Valores propios
λ3 =
7, con vector propio asociado
~v7 = (z/3, 2z/3, z)



 

−1 
 1/3 
 −1
BASEλ3 =  2/3 
BASEλ1,2 =  1  ;  0 




1
0
1
(b)


−1 −1 1/3
0 2/3 
D= 1
0
1 1
(c) Por letra tenemos que
M.~u = α~u,
N.~u = β~u
(M.N ).~u = λ~u
Si combinamos esta información obtenemos,
(M.N ).~u = M.(N.~u) = M.(β~u) = β(M.~u) = βα~u = λ~u
Con lo cual ~u es vector propio de M.N con valor propio λ = αβ.
(d) T : R3 → R3 / T (~u) = A.~u
Como la única manera de obtener a la salida el vector nulo es introduciendo el vector nulo
entonces la transformación T es INYECTIVA.
La dimensión del núcleo de T mas la dimensión de la imagen de T debe ser la dimensión del
espacio de partida, o sea,
dim(ker(T )) + dim(Im(T )) = dim(R3 )
Como el único vector que pertenece al núcleo es el vector nulo, la dimensión del núcleo es cero
y la dimensión de la imagen de T es 3. Por lo tanto la transformación es SOBREYECTIVA.
Por último la transformación es BIYECTIVA.
2.
(a)
(b)
   
2 
 1
S =  1 ; 0 


0
1
(c) a = 13
(d)
     
2
1 
 1
R3 =  1  ;  0  ;  0 


0
1
0
1
Matemática 2
3.
2013
(a) Sea ~u1 = (1, a, 1), ~u2 = (2, 2, b) y ~u3 = (0, −1, 1) los vectores de U . Para que dicho conjunto
sea ortogonal se deben cumplir las siguientes relaciones,
~u1 .~u2 = 2 + 2a + b = 0
~u1 .~u3 = −a + 1
=0
~u2 .~u3 = −2 + b
=0
Se puede ver que este sistema es incompatible, por lo tanto no existen a y b para que el
conjunto U sea ortogonal.
(b) Llamemos ~x = 2~u y ~y = 3w.
~ Si utilizamos las siguientes relaciones,
||~x − ~y ||2 = −||~x + ~y ||2 + 2||~x||2 + 2||~y ||2 (ver práctico)
||~x + ~y || = ||~x − ~y ||
(por letra)
Se obtiene,
||~x + ~y ||2 = ||~x||2 + ||~y ||2
La única forma que la ecuación anterior se cumpla es si ~x.~y = 0, con lo cual ~u.~v = 0.
(c) Resolver el siguiente sistema,
(~x + ~y ).(~x − ~y ) = ||~x||2 − ||~y ||2 = 3
||~x − ~y ||2
= ||~x||2 + ||~y ||2 = 52
4.
(a) No se puede definir lı́mite en (x, y) = (0, 0), pues
si x = 0 limy→0 g(0, y) = 1
si x = y lim(x,y)→(0,0) g(x, y) = 1/2
Por lo tanto la función g no se puede extender para que sea continua en (0, 0)
(b) La función presenta un máximo en (x, y) = (1, 2).
(c) x = y = z = 6.
5.
(a) La sucesión se puede escribir como
yk = δk + 2 − δk−2 + δk−3
por lo tanto su transformada Z es
Y (z) = 1 +
2
1
1
− 2+ 3
z z
z
(b) Si aplicamos transformada Z en ambos lados de la igualdad resulta,
Y (z) +
6Y (z) 9Y (z)
2
+
=− 3
2
z
z
z
Luego de operar se obtiene,
Y (z) = −
2
z(z + 3)2
(c) Utilizando separación de variables,
Y (z) = −
2
2
2
+
+
9z 9(z + 3) 3(z + 32 )
Luego de antitransformar resulta
yk = −
2
2δk−1 2
+ (−3)k−1 uk−1 + (k − 1)(−3)k−2 uk−2
9
9
3
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