Solución a algunos problemas

Algebra Lineal
Tarea No 15: Dimensión en Espacios Vectoriales
Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
1. Suponga que en un espacio vectorial V existe un conjunto
generador B1 con 8 elementos, entonces la dimensión del
espacio será . . .
A
igual a 8
B
mayor que 8
C
menor o igual que 8
D
mayor o igual que 8
E
menor que 8
Solución
La respuesta correcta es C : Sea B2 una base para V ,
ası́ dim(V ) = #(B2 ). Como B2 una base para V , B2 es
linealmente independiente. Siendo B1 un conjunto generador para V , el teorema del intercambio afirma que
dim(V ) = #(B2 ) ≤ #(B1 ) = 8.
Por tanto, la dimensión de V es menor o igual que 8 B
Cierto
Solución
La respuesta correcta es A : hay mucha distancia entre
un conjunto con vectores diferentes entre si y un conjunto
que es base. Por ejemplo, si v 6= 0, entonces son diferentes
todos los vectores del conjunto {v, 2 v, 3 v, 4 v, . . .} y éste
es linealmente dependiente 4. Suponga que en un espacio vectorial V existe un conjunto
generador B1 con 8 elementos, entonces la dimensión del
espacio será . . .
A
igual a 8
B
mayor que 8
C
menor o igual que 8
D
mayor o igual que 8
E
menor que 8
Solución
2. Suponga que en un espacio vectorial V existe un conjunto
linealmente independiente B1 con 4 elementos, entonces
la dimensión del espacio será . . .
A
mayor o igual que 4
La respuesta correcta es C : Sea B2 una base para V ,
ası́ dim(V ) = #(B2 ). Como B2 una base para V , B2 es
linealmente independiente. Siendo B1 un conjunto generador para V , el teorema del intercambio afirma que
B
menor o igual que 4
dim(V ) = #(B2 ) ≤ #(B1 ) = 8.
C
igual a 4
D
menor que 4
E
mayor que 4
Solución
La respuesta correcta es A : Sea B2 una base para V ,
ası́ dim(V ) = #(B2 ). Como B2 una base para V , B2 genera a V . Siendo B1 linealmente independiente de elementos de V : el teorema del intercambio afirma que cualquier
espacio: el número de elementos que tiene un conjunto linealmente independiente es menor o igual que un conjunto
que genera, ası́
4 = #(B1 ) ≤ #(B2 ) = dim(V ).
Por tanto, la dimensión de V es mayor o igual que 4 3. Suponga que en un espacio vectorial V con dimensión 7
el subconjunto B tiene 7 elementos diferentes, ¿se puede
decir que B es base?
A
Falso
Por tanto, la dimensión de V es menor o igual que 8 5. Suponga que en un espacio vectorial V con dimensión 8,
un subespacio W tiene un conjunto linealmente independiente con 8 elementos, entonces
A
W ⊆ V (Contenido con la posibilidad de la igualdad)
B
W =V
C
W ⊂ V (Contenido pero sin la posibilidad de la igualdad)
Solución
Recuerde que si es subespacio W de V (W ⊆ V ):
dim(W ) ≤ dim(V ) y que W = V si y sólo si dim(W ) =
dim(V ). Se deduce que 8 ≤ dim(W ) ≤ dim(V ) = 8. Por
tanto, dim(W ) = dim(V ) y ası́ W = V 6. Determine la dimensión del subespacio:

 
 

−6
−4
−42




 

5 
 ,  5  ,  40  ,
Gen 






1
−2
−1 


1
2
11

16 

 −10 


 −8 


0

Ma1019, Tarea No 15: Dimensión en Espacios Vectoriales
Solución
Formando la matriz aumentada y y reduciendo tenemos:




1 0 5 −4
−6 −4 −42
16

 5
2 
5
40 −10 

 rref  0 1 3

 1 −2 −1 −8  −−−→  0 0 0
0 
0 0 0
0
1
2
11
0
¿Qué significa el cálculo anterior? Si hubieramos puesto
armado la matriz aumentada con la parte de coefiecientes
hasta el segundo vector quedarı́a:




−6 −4 −42
1 0 5 −4
16
 5

5
40 −10 
2 

 rref  0 1 3

 1 −2 −1 −8  −−−→  0 0 0
0 
1
2
11
0
0 0 0
0
2
Por la nota anterior, la dimensión es el número de pivotes
de la matriz reducida. Por tanto, la dimensión es 4 9. Determine la dimensión para el subespacio de R3 formado
por las soluciones al sistema:
Gen {v1 , v2 , v3 , v4 } = Gen {v1 , v2 }
0
−12 x + 10 y + 6 z
=
0
36 x − 30 y − 18 z
=
0
Al formar la aumentada y al aplicar Gauss:
6
 −12
36

−5/2 −1/2 0
0
0 0 
0
0 0


1
−5 −3 0
rref
10
6 0  −−−→  0
−30 −18 0
0
Por tanto,
El mismo cálculo indica que el conjunto formado por los
vectores 1 y 2 son linealmente independientes. Por lo tanto, los vectores 1 y 2 son una base para el espacio. Por
tanto, la dimensión es 2. Recuerde la regla: en espacios
generados, la dimensión es el número de pivotes 7. Determine la dimensión del subespacio que generan las
polinomios:
{−2−x−2 x2 , 1+5 x+x2 −2 x3 , 2+x−x3 , 3−3 x−3 x2 −x3 }
Solución
Formando la matriz aumentada de los polinomios vectorizados y y reduciendo tenemos:




−2
1
2
3
1 0 0
1
 −1
5
1 −3 
0 1 0 −1 
rref 

−

−−→ 
 −2


1
0 −3
0 0 1
3 
0 −2 −1 −1
0 0 0
0






x
5/2
1/2
 y =y  1 +z  0 
z
0
1
Por tanto, la dimensión del espacio lineal es 2. Recuerde la
regla: Para sistemas de ecuaciones homogéneos, la dimensión del espacio formado por las soluciones es el número
de variables libres 10. Para qué valores del escalar k no tiene dimensión 3 el espacio generado por:
("
8. Determine la dimensión del subespacio que generan las
matrices:
2 −2
1 −1
1 2
−2 −1
,
,
,
2 −1
0
1
−2 1
1 −1
Solución
vectoriza0
0 

0 
1

−1
0
1
1
# "
,
2
3
−1
−1
# "
,
−1
−1 − k
1 − 3 k + k2
6 − 2k
#)
Indique su respuesta en las posibles:
1) Hay menos dos valores de k.
Por la nota anterior, la dimensión es el número de pivotes
de la matriz reducida. Por tanto, la dimensión es 3 Formando la matriz aumentada de las matrices
das y y reduciendo tenemos:



2
1
1 −2
1 0 0
 −2 −1
 rref  0 1 0
2
−1

 −−−→ 
 −2
 0 0 1
0 −2
1 
−1
1
1 −1
0 0 0
=
Solución

Lo cual dirı́a que los vectores 3 y 4 son combinación lineal
de los vectores 1 y 2. Por tanto,
6x − 5y − 3z
2) No existe valor de k.
3) Sólo para el valor k=
Solución
Formamos la matriz donde entran como columnas las matrices dadas y escalonamos para obtener:





1
−1
1
0
2
−1
3
−1
−1
1 − 3 k + k2
−1 − k
6 − 2k




 rref 
 −−−→ 


1
0
0
0
2
1
0
0
−1
k2 − 3 k
−k(k − 2)
k2 − 5 k + 6
Las siguientes gráficas ilustran los cálculos en la TI:





Ma1019, Tarea No 15: Dimensión en Espacios Vectoriales
3
Para que tenga dimensión menor a 3, debe tener a lo más
dos pivotes. Pero en las dos primeras columnas ya se tienen pivotes. Por tanto, la única manera en que se tiene
dimensión menor que 3 es que en la tercera columna no
exista pivote. Por tanto, debemos encontrar un valor de
k que simultáneamente haga cero las posiciones (3, 3) y
(4, 3) de la matriz. La única raı́z comun es k = 2 11. Extienda el siguiente conjunto de vectores a una base para
R3 :





1
1 

B = v1 =  1  , v2 =  −1 


−1
1
Solución
En este caso tenemos la libertad de escoger una base de
donde tomar vectores para completar la base. Elijamos
entonces la base canónica:







1
0
0 

e =  0  , e2 =  1  , e3 =  0 
 1

0
0
1
Para determinar adecuadamente la selección de vectores
formamos y reducimos la matriz:


1
0 1/2
0 −1/2
rref 

[v1 v2 |e1 e2 e3 ] −−−→  0 1 1/2
0
1/2 
0
0
0 1
1
Por consiguiente una base para R3 que extiende a B es
B ∪ {e2 }