Solución parcial II

1
Álgebra Lineal
Guillermo Mantilla-Soler
Soluciones Examen II

1
(1) Considere la matriz A = 2
1
0
1
0

1
3
2
(a) [2 pts] ¿Es la matriz A invertible? En caso que sı́ encuentre su inversa A−1 Sol: La secuencia de operaciones elementales
por filas, R2 : R2 → R2 − 2R1 , R3 : R3 → R3 − R1 , R2 : R2 → R2 − R3 lleva A a la identidad. Dado lo anterior la
matriz A es invertible y su inversa
de aplicarle las tres operaciones anteriores a la identidad de 3 × 3 lo
 es el resultado

2 0 −1
cual da como resultado A−1 = −1 1 −1
−1 0 1
(b) [1 pt] Calcule ρ(At ) el rango de la matriz transpuesta de A. Sol: Dado que el espacio fila de una matriz y su espacio
columna tienen la misma dimensión se tiene que ρ(At ) = ρ(A) = 3. La última igualdad se tiene dado que A es
invertible.
(c) [1 pt] Encuentre todas la soluciones al sistema de ecuaciones
x +
2x +
x +
y
+ z
+ 3z
+ 2z
= 2
= 6
= 3
   
2
1
Sol: La matriz asociada al sistema es A por tanto el sistema tiene una única solución dada por A−1 6 = 1
3
1
(d) [1 pts] ¿Cuántas soluciones tiene el sistema homogeneo asociado al sistema del punto (c)? Sol: Dado que la matriz
del sistema es invertible el sistema tiene una única solución.
 

 

1
1
1 1 1 1
0
−1
1 1 1 1
 

 
(2) Sean B = 
1 1 1 1 , u =  0  y v = −1
0
0
1 1 1 0
(a) [1 pt] Encuentre ρ(B) el rango de B. Sol: Como las tres primeras columnas de B son iguales, Col(B) está generado
por las últimas dos columnas, que son claramente linealmente independientes ya que una no es múltiplo de la otra. Por
lo tanto las dos últimas columnas de B forman una base para Col(B); en particular ρ(B) = 2.
(b) [1 pt] Encuentre ν(B) la nulidad de B. Sol: Dado que ρ(B) + ν(B) = 4 tenemos del punto anterior ν(B) = 2.
(c) [1 pt] Calcule los vectores Bu y Bv. Sol: Claramente los dos productos son iguales al vector cero.
(d) [1 pt] Encuentre una base para Nul(B) el espacio nulo de B. Sol: Como u y v son linealmente independientes, ya que
uno no es múltiplo del otro, y están en Nul(B) el espacio que ellos generan es un subespacio de dimensión 2 de Nul(B);
dado que Nul(B) tiene dimensión igual a 2 se tiene que {u, v} es una base para Nul(B).
3
(e) [1 pt] Escriba de manera explı́cita
  un vector b 6= 0 en R que pertenezca a Col(B) pero que no sea una columna de B.
2
2

Sol: Tome por ejemplo b = 
2. Claramente b no es igual a ninguna columna de B pero está en Col(B) ya que es un
2
múltiplo escalar de la primera columna de B.
 

x




 

y
4


(3) Sea V :=   ∈ R : x + y + z + w = 0 y que x + y + z = 0 .
z






w
2
4
(a) [1
pt] Muestre
que V es un sub-espacio vectorial de R . Sol: Por su definición V es el espacio nulo de la matriz
1 1 1 1
. En particular V , al ser un espacio nulo, es un sub-espacio de R4
1 1 1 0
(b) [1 pt] Halle una base para V . Sol: Note que V coincide con el espacio nulo de la matriz B del segundo punto, por
tanto una base para V es la encontrada en el punto 2.d.
(c) [2 pt] Encuentre la dimensión de V . Sol: Argumentando como en el anterior dim(V ) = ν(B) = 2.
(d) [1 pt] Muestre que existe un vector v ∈ R4 que no está en V . Sol: Como V ⊆ R4 no puede ser igual R4 , ya que
dim(R4 ) = 4 y dim(V ) = 2, debe existir un vector v ∈ R4 que no está en V .
(4) Sea L : R4 → R4 una transformación lineal que satisface:
   
       
   
1
0
1
0
1
0
1
1
0 1
1 1 0 1
0 1
   
       
   
L
0 = 1 L 0 = 1 L 1 = 1 L 0 = 1
0
1
1
0
1
0
1
0
(a) [1 pt] Hallle el rango de L, ρ(L). Sol: Por definición dela
1
1
tenemos que la matriz de representación de L es igual a 
1
1
ρ(L) = ρ(B) = 2.
matriz
1 1
1 1
1 1
1 1
derepresentación, con respecto a la base canónica,
1
1
 que es la matriz B del segundo punto. Por esto
1
0
(b) [1 pt] Hallle la nulidad de L, ν(L). Sol: Argumentando como en el anterior ν(L) = ν(B) = 2.
 
 
x
x
y 
 y 
 
 
(c) [2 pts] Halle el valor L 
 z  para cualquier vector  z . Sol: Al ser B la matriz de representación de L se tiene
w
w

  
  
 
x+y+z+w
x
1 1 1 1
x
x
 y  1 1 1 1  y  x + y + z + w
 y 

  
  
 
que L 
 z  = B  z  = 1 1 1 1  z  = x + y + z + w
x+y+z
w
1 1 1 0
w
w
(d) [1 pt] Sea b el vector que ud halló en el punto 2.e de este examen. ¿Pertenece b a la imagen de L? Sol: Sı́. Lo anterior
se tiene ya que la imagen de L es igual al espacio columna de B y b fue escogido en este espacio.