Primer Parcial ´Algebra Lineal

Primer Parcial
Álgebra Lineal
Javier Elizondo
I. Sean V = M2×2 (F ),
)
)
(
!
(
!
0
a
a b
y W2 =
∈ V a, b ∈ F .
W1 =
∈ V a, b, c ∈ F
−a b
c a
Probar que W1 , W2 son subespacios de V , y encuentre la dimensiones de W1 , W2 ,
W1 + W2 y W1 ∩ W2 .
Solución: Para demostrar que W1 es un espacio vectorial es suficiente probar que la
suma de dos elementos de W1 está en W1 , y que el producto
escalar por(un elemen!)
( de un!)
d e
a b
yw=
to en W1 está en W1 . Similarmente con W2 . Sean v =
f d
c a
(
!)
a+d b+e
elementos de W1 . Entonces, la suma es de la forma w + v =
, que
f +c a+d
claramente está en W1 ya que los elementos de la diagonal son iguales. Ahora bien,
un elemento de la intersección se obtiene igualando dos matrices, una en W1 y otra en
W2 ası́!tenemos que!un elemento de la intersección está dado por la igualdad siguiente
a b
0 d
=
. Entonces, la solución es de la forma a = 0, b = d, c = −d, a = e
c a
−d e
(
!
)
0 b Es decir W1 ∩ W2 =
b ∈ R . Por lo tanto, dim(W1 ∩ W2 ) = 1. Ahora
−b 0
bien, es claro que la dimensión de W1 es 3 y la dimensión de W2 es igual a 2. Por lo
tanto, dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 − dim(W1 ∩ W2 ) = 3 + 2 − 1 = 4.
II. Encuentre una base para el siguiente subespacio de F 5
V2 = {(a1 , a2 , a3 , a4 .a5 ) ∈ F 5 | a2 = a3 = a4 y a1 + a5 = 0}.
Solución: Sólo hay que observar que si fijamos el valor de a1 y de a2 las demás coordenadas quedan determinadas. Es decir, la dimensión del espacio V2 es igual a 2, y una
base queda dada por a1 = 0, a2 = 1 y a1 = 1, a2 = 0. Es decir v1 = (0, 1, 1, 1, 0) y
v2 = (1, 0, 0, 0, 1) es una base para V2 . Claramente este conjunto es linealmente independiente y genera a V2 .
III. Construya tres subespacios vectoriales M, N1 y N2 de un espacio vectorial V tal que
M ⊕N1 = M ⊕N2 = V pero N1 6= N2 . ¿Cuál es el significado geométrico que corresponde
a esta situación?
Solución: Sea V = R2 , y M = {λ·(1, 0) | λ ∈ R}. Consideremos N1 = {α·(0, 1) | α ∈ R}
y N2 = {γ·(1, 1) | γ ∈ R}. Es fácil probar que M ⊕N1 = M ⊕N2 = V . Geométricamente,
lo que estamos considerando es la descomposición de R2 como la suma del eje x y el
eje y, por un lado, y por otro, la suma del eje x y de la recta y = x.
IV. Sean x, y, u y v vectores en R4 . Sean M y N subespacios generados por {x, y} y
{u, v} respectivamente. Diga si R4 = M ⊕ N, donde x = (−1, 1, 1, 0), y = (0, 1, −1, 1),
u = (1, 0, 0, 0), v = (0, 0, 0, 1, ).
Solución: Primero observemos que M = {(−α, α + β, α − β, β) | α, β ∈ R} y N =
{(γ, 0, 0, δ) | γ, δ ∈ R}. Ası́ que un vector está en M ∩ N si y sólo si el vector satisface
que α = β y α = −β, por lo tanto, α = β = 0, esto implica que −α = γ = 0 = β = δ.
Es decir, M ∩ N = {(0, 0, 0, 0)}. Por lo tanto, R4 = M ⊕ N.