ESPACIOS DE DIMENSI´ON FINITA Sabemos que todas las normas

ESPACIOS DE DIMENSIÓN FINITA
Sabemos que todas las normas en un e.v. de dimensión finita, son equivalentes. En este
tema vamos a extender este resultado, viendo que sobre un espacio vectorial de dimensión
finita existe una única topologı́a vectorial separada. Los ingredientes principales son los
dos resultados siguientes:
1 Lema. Toda aplicación lineal T de Kn (con la topologı́a usual) en un e.v.t. E, es
continua.
Demostración. Sea {e1 , . . . , en } la base canónica de Kn . Para cada i, la homotecia
K 3 λ 7→ ϕi (λ) = λT (ei ) ∈ E
es continua, y
T =
n
X
ϕi ◦ πi ,
i=1
donde πi : Kn → K es la proyección i-ésima canónica.
2 Teorema..Sea E un e.v.t. separado de dimensión finita, {e1 , . . . , en } una base de E.
El isomorfismo canónico
n
T : K → E; T (λ1 , . . . , λn ) :=
n
X
λi e i
i=1
es un homeomorfismo.
Demostración. Por el Lema anterior. bastará probar que T es abierta. Sea
B = {λ ∈ Kn : kλk ≤ 1}
S = {λ ∈n : kλk = 1}.
S es compacto en Kn , luego T (S) es compacto en E y, por tanto cerrado. Ası́ pues,
E\T (S) es un entorno de 0 en E. Sea U un entorno de 0 equilibrado, contenido en E\T (S).
Probemos que T (B) ⊃ U : Si x 6∈ T (B), se tiene kT −1 (x)k > 1 y
entonces
x
kT −1 (x)k
∈
/ U y como
1
kT −1 (x)k
x
kT −1 (x)k
∈ T (S). Pero
< 1, al ser U equilibrado resulta que x 6∈ U . Ası́
pues, T (B) es entorno de 0. Ya sabemos que esto implica que T es abierta.
3 Corolario. Sea E un e.v.t. separado de dimensión finita.
1
E. V. T. de Dimensión Finita
Fernando Bombal
1) Toda aplicación lineal de E en un e.v.t. arbitrario, es continua.
2) E es normable, localmente compacto y completo. Todas las normas sobre E son
equivalentes y los conjuntos cerrados y acotados coinciden con los compactos.
Demostración. Sea {u1 , . . . , un } una base de E y T : E → Kn el isomorfismo canónico
asociado. Por el Teorema 2, T es un isomorfismo topológico, cuando en Kn se considera
la topologı́a usual.
(1): Si S es una aplicación lineal de E en otro e.v.t. F , podemos factorizarla en la
forma S = (S ◦ T −1 ) ◦ T . Ya dijimos que T es continua y S ◦ T −1 : Kn → F es continua
por el lema 1. Por tanto, S es continua.
(2): Resulta inmediatamente de que T es un isomorfismo topológico y de que Kn
tiene las propiedades enunciadas (nótese que si k · k es una norma sobre Kn , la expresión
kxkE := kT (x)k define una norma sobre E.)
4 Proposición.
Sobre un espacio vectorial E de dimensión finita existe una única
topologı́a de e.v.t. separado sobre E (topologı́a canónica), que es normable y está caracterizada por ser la más fina entre todas las topologı́as vectoriales sobre E.
Demostración. Si T1 y T2 son dos topologı́as vectoriales sobre E y T1 es separada, entonces
I : (E, T1 ) → (E, T2 ) es continua, por el corolario 3(1). Esto prueba que existe, a lo más,
una sola topologı́a vectorial separada sobre E, que es más fina que cualquier otra topologı́a
vectorial sobre E. Por otro lado, con las notaciones del corolario 3, ya vimos que la fórmula
k x kE := kT (x)k
define una norma sobre E.
5 Corolario. Todo subespacio vectorial F de dimensión finita de un e.v.t. separado, es
cerrado.
Demostración. la topologı́a inducida sobre F es la canónica, con la que es un e.v.t. completo y, por tanto, cerrado.
6 Observación. La hipótesis de separación es esencial en los resultados anteriores. Ası́,
por ejemplo, es claro que el teorema 2 no se cumple si E no es separado (pues Kn lo es).
Por otro lado, si consideramos en E = K2 la topologı́a que tiene como base de entornos de
0 los conjuntos V² = {(x, y) ∈ E :| x |≤ ²}, resulta que {0} es un s.v. de dimensión finita
2
E. V. T. de Dimensión Finita
Fernando Bombal
que no es cerrado en E ({0} = {(0, y) ∈ E : y ∈ K}). Al mismo tiempo, la proyección
sobre la segunda coordenada es una aplicación lineal no continua sobre E (no está acotada
en ningún V² ).
7 Corolario. Sea E un e.v.t.
1) Si M y N son suplementarios algebraicos en E tales que M es de dimensión
finita y N es cerrado, entonces las proyecciones canónicas asociadas PM : E → M
y PN : E → N son continuas. (Se dice entonces que M y N son suplementarios
topológicos.
2) Todo subespacio vectorial cerrado de codimensión finita en E, admite un suplementario topológico.
3) Si M es un subespacio vectorial cerrado y N un subespacio vectorial de dimensión
finita de E, entonces M + N es cerrado.
Demostración. (1): Como IdE = PM + PN , bastará probar que PM es continua.
Como PM es sobre y KerPM = N , PM se factoriza en la forma PM = φ ◦ π, con π : E →
E/N la aplicación canónica y φ : E/N → M un isomorfismo algebraico. Pero E/N es un
e.v.t. separado de dimensión finita. Por tanto, el isomorfismo algebraico φ es continuo
(corolario 3(1)) y ası́ PM lo es también.
(2): Por (1), todo suplementario algebraico es un suplementario topológico.
(3): Si π : E → E/M es la aplicación canónica, E/M es separado y π(N ) es de
dimensión finita, luego es cerrado por el corolario 5. Entonces π −1 (π(N )) = M + N es
cerrado.
ESPACIOS LOCALMENTE COMPACTOS
8 Lema. (F. Riesz) Sea E un e.v.t., B ⊂ E un conjunto acotado y M un subespacio
vectorial de E. Si existe r ∈ K, |r| < 1 tal que B ⊂ M + rB, entonces B ⊂ M .
Demostración. Si U es una base de entornos de 0 equilibrados de E, sabemos que
M=
\
{M + U : U ∈ U}.
Sea entonces U ∈ U y n ∈ N tal que rn B ⊂ U . Se tiene
B ⊂ M + rB ⊂ M + r2 B ⊂ · · · ⊂ M + rn B ⊂ M + U.
3
E. V. T. de Dimensión Finita
Fernando Bombal
Esto prueba que B ⊂ M .
9 Teorema. (F. Riesz) Sea E un e.v.t. separado. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) E tiene dimensión finita.
2) E es localmente compacto.
3) E posee un entorno de 0 relativamente compacto.
Demostración. Ya hemos visto que (1) ⇒ (2), y (2) ⇒ (3) es evidente. Supongamos
entonces que U es un entorno de 0 compacto. Como
conjunto {a +
1
2
◦
1
2U
es también un entorno de 0, el
U }a∈U es un recubrimiento abierto de U , luego existe un conjunto finito
F ⊂ E tal que U ⊂ F + 12 U . Si M es el subespacio vectorial (de dimensión finita) generado
por F , resulta entonces que U ⊂ M + 12 U y, por tanto, U cumple las hipótesis del lema de
Riesz (8). En consecuencia, U ⊂ M = M , por el corolario 7.5. Ası́ pues, M es absorbente,
luego coincide con E.
10 Observación. Si E no es separado, la implicación (3) ⇒ (1) del teorema anterior, no es
cierta, como muestra el siguiente ejemplo: Sea E = CR ([0, 1]) con la topologı́a (vectorial)
que tiene como base de entornos de 0 los conjuntos
V² = {f ∈ E : |f (0)| ≤ ²} (² > 0).
E tiene dimensión infinita. Sin embargo, cada V² es relativamente compacto. En efecto,
V² = {f − f (0)1} + {λ1 : |λ| ≤ ²} ⊂ {0} + {λ1 : |λ| ≤ ²}, que es compacto, como suma de
compactos. Ası́ pues, el subconjunto V² es relativamente compacto.
El mismo resultado obtendríamos fijando un e.v. E de dimensión infinita, una forma
lineal no nula ϕ ∈ E ∗ \{0} y considerando en E la topologı́a vectorial que tiene como base
de entornos de 0 los conjuntos
V² = {x ∈ E : |ϕ(x)| ≤ ²} .
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