F´ısica del Estado Sólido Práctico 2 Red Rec´ıproca y Difracción de

Fı́sica del Estado Sólido
Práctico 2
Red Recı́proca y Difracción de Rayos X
1. Considere una red de Bravais con los tres vectores primitivos {~a1 , ~a2 , ~a3 } (figura 1). Un
plano de una red cristalina queda definido por tres puntos no alineados de la red, como
P , Q y R.
Q
~a3
~a1
R
~a2
~n
P
Figura 1: Planos de red
a) Se definen los vectores ~v = Q − P y ~u = R − P 1 .
Muestre que el vector normal al plano ~n = ~u × ~v se escribe:
~n = h ~a2 × ~a3 + k ~a3 × ~a1 + l ~a1 × ~a2
con h, k y l números enteros. Muestre que el vector de la red recı́proca:
~ = h~b1 + k~b2 + l~b3
G
es también normal al plano, siendo {~b1 , ~b2 , ~b3 } la base recı́proca de {~a1 , ~a2 , ~a3 }.
NOTA: Observe que para definir la normal, h, k y l pueden tomarse primos entre
sı́ 2 .
b) (Ecuación del plano) Si ~rP = p1~a1 + p2~a2 + p3~a3 (p1 , p2 , p3 enteros) es un punto de
la red en el plano y ~r = x~a1 + y~a2 + z~a3 un punto cualquiera del plano, escriba la
~ rP − ~r) = 0 en coordenadas.
ecuación del plano G.(~
1
Si se agrega un tercer vector de red w,
~ la condición w.~
~ u × ~v = ~a1 .~a2 × ~a3 (que siempre es posible satisfacer)
asegura que {~
u, ~v , w}
~ es una base y que las combinaciones lineales enteras de ~
u y ~v generan todos los puntos de
red en el plano.
2
Se puede demostrar que cualquier terna de enteros [h, k, l] primos entre sı́ define un plano de red perpendicular
~ = h~b1 + k~b2 + l~b3
aG
1
c) Muestre que el plano corta a los ejes definidos por {~a1 , ~a2 , ~a3 } en puntos qi~ai , con qi
racionales.
d ) Demuestre que la distancia entre dos planos paralelos adyacentes de red con ı́ndices
(kkl) es: dhkl = 2π/G.
e) Compruebe que para una red cúbica simple: d =
√
a
h2 +k2 +l2
2. Redes Recı́procas
Halle las redes recı́procas de las siguientes redes cristalinas:
a) Cúbica simple (sc) definida por:
~a1 = î
~a2 = ĵ
~a3 = k̂
b) Cúbica centrada en el cuerpo (bcc) definida por:
~a1 =
a
(−î + ĵ + k̂)
2
~a2 =
a
(î − ĵ + k̂)
2
~a3 =
a
(î + ĵ − k̂)
2
c) Cúbica centrada en las caras (fcc) definida por:
~a1 =
a
(ĵ + k̂)
2
~a2 =
a
(î + k̂)
2
~a3 =
a
(î + ĵ)
2
3. Red Recı́proca de la Red Recı́proca
Demuestre que la red recı́proca de la red recı́proca es la red directa original del espacio
real.
4. Volumen de la Primera Zona de Brillouin
Demuestre que el volumen de la primera zona de Brillouin es (2π)3 /vc , donde vc es el
volumen de una celda primitiva del cristal.
5. Factor de Estructura, Extinciones y Reflexiones Permitidas
a) Halle el factor de estructura para planos genéricos de una red bcc y de una red fcc,
discutiendo cuáles son los valores posibles para el mismo. En particular halle para
qué combinaciones de ı́ndices de Miller se producen extinciones (se anula el factor de
estructura).
SUGERENCIA: Considere las redes como formadas por redes de Bravais sc con bases
adecuadas.
~ en un espacio dado de Fourier
b) ¿Por qué es menor la densidad de puntos recı́procos G
cuando la celda unidad de la red cristalina es primitiva que cuando no lo es?
c) ¿Cómo pueden ser independientes las reflexiones permitidas para una estructura dada
de la elección de la celda unidad de la red?
2
6. Red recı́proca de red espacial hexagonal
Los vectores de translación primitivos de una red espacial hexagonal pueden tomarse
como:
a √
a √
~a1 = ( 3î + ĵ)
~a2 = (− 3î + ĵ)
~a3 = ck̂
2
2
a) Calcule el volumen de la celda primitiva.
b) Calcule los vectores de translación primitivos de la red recı́proca.
c) Realice un esquema de la primera zona de Brillouin de la red hexagonal espacial.
7. Factor de Forma del Hidrógeno Atómico
Para el átomo de hidrógeno en su estado fundamental, la densidad electrónica es:
n(r) =
1 − a2r
e 0
πa30
donde a0 es el radio de Bohr. Demuestre que el factor de forma es:
fG =
16
4 + G2 a20
Interprete el resultado estudiando la dependencia con G y a0 .
8. Factor de Forma de una Esfera Uniforme
Encuentre el factor de forma f para una distribución uniforme de Z electrones en una
esfera de radio R. Muestre que para la condición GR >> 1, el factor de forma resulta
proporcional a cos(GR)
, por lo que la amplitud difundida decrece cuando G aumenta.
G2
9. Determinación de la Estructura Cristalina
En un diagrama de polvo de rayos X de una sustancia cúbica, obtenido con la radiación
Kα del cobre (λ = 1,542Å) aparecen lı́neas para ángulos de Bragg de 12,3◦ , 14,1◦ , 20,2◦ ,
24,0◦ , 25,1◦ , 29,3◦ , 32,2◦ y 33,1◦ .
a) Asigne ı́ndices a estas lı́neas y decida si la red primitiva es centrada en el cuerpo o
centrada en las caras, y calcule la arista de la celda.
b) La densidad de la sustancia es 8, 31g/cm3 y el peso molecular 312. Encuentre el
número de moléculas en una celda cúbica unidad. Puede tomarse como masa atómica
unidad 1,66 × 10−24 g.
10. Factor de Estructura del Diamante
Si se toma la celda unitaria para el diamante como el cubo convencional, la base contiene 8
átomos. Si se describe al diamente como una red fcc más una base, la base tiene 2 átomos.
a) Encuentre el factor de estructura Shkl para la base correspondiente a la red fcc. Halle
la condición en h, k, l para las reflexiones permitidas.
b) Muestre que el factor de estructura Shkl para la base correspondiente a la red sc se
escribe:
h
ih
i
π
Shkl = f 1 + (−1)h+k + (−1)h+l + (−1)k+l 1 + e−i 2 (h+k+l)
3
Encuentre los ceros de Shkl y demuestre que las reflexiones permitidas satisfacen la
condición: h + k + l = 4n, donde todos los ı́ndices son pares y n es un entero, o bien
todos los ı́ndices son impares (ver figura).
NOTA: Sin embargo, puede observarse la reflexión prohibida (222) si existe una
concentración extra de electrones en el punto medio entre dos átomos de carbono
vecinos más próximos.
c) Compare los valores máximos que toman los factores de estructura en los casos
anteriores.
11. Función de Patterson
Partiendo de que la intensidad del haz difractado según el vector de scattering ~k, I(~k), es
proporcional al cuadrado del módulo de la transformada espacial de Fourier de la función
de scattering, ρ(~r):
2
Z
−i~k.~
r
~
I(k) = d~r ρ(~r)e
a) Demuestre que la intensidad del haz difractado se puede escribir como la transformada de Fourier de la función de Patterson P (~r), definida como la autocorrelación
de la función de scattering:
Z
P (~r) =
d~r 0 ρ(~r 0 ) ρ(~r 0 + ~r)
b) Observe cualitativamente que:
1. La función de Patterson tendrá máximos cerca de las posiciones ~r que separen
átomos que tengan funciones de scattering importantes.
2. Deduzca que, de disponerse de la intensidad de dispersión, I(~k), los picos de su
transformada de Fourier indicarán la distancia interatómica de la red directa.
NOTA: Este tratamiento es especialmente importante en el caso de fluidos o sistemas
amorfos en los que no existe orden de largo alcance (ausencia de una red de Bravais, y por
lo tanto de picos de difracción). Aún ası́ este método permite hallar las distancias medias
entre los átomos).
4
12. Ancho del máximo de difracción
La dispersión elástica desde una red cristalina periódica infinita consiste en picos de difracción de Bragg angostos. A continuación demostraremos, usando un caso simplificado,
cómo depende la intensidad de dispersión con el tamaño finito de los cristales. Supongamos que en un cristal lineal existen centros puntuales de dispersión (scattering) idénticos
en cada punto de la red ρm = m~a, donde m es un entero.
a) Verifique, por analogı́a con el caso tridimensional, que
amplitud de dispersión
P la
vista en será proporcional al factor de estructura S =
e−im~a.∆k . Si la red es finita
y consiste de M puntos, demuestre que el valor del factor de estructura será:
S=
1 − e−iM~a.∆k
1 − e−i~a.∆k
b) La intensidad dispersada es proporcional a |S|2 . Demuestre que:
|S|2 =
sen2 ( M~a2.∆k )
sen2 ( ~a.∆k
2 )
c) Sabemos que aparece un máximo de difracción cuando ~a.∆k = 2πh, donde h es
un entero. Cambiemos ligeramente ∆k y definamos en ~a.∆k = 2πh + de forma
que da la posición del primer cero en sen( M~a2.∆k ). Demuestre que = 2π/M , de
forma que la anchura del máximo del espectro es proporcional a 1/M y puede ser
extremadamente estrecho para valores grandes de M .
NOTA: El mismo resultado es cierto para un cristal de tres dimensiones. El ancho
de un pico de difracción puede depender también de otros factores.
13. Lı́nea Diatómica
Considere una lı́nea de átomos ABAB...AB con una longitud de a/2 para el enlace A –
B. Los factores de forma para los átomos A y B son fA y fB , respectivamente. El haz
incidente de Rayos X es perpendicular a la lı́nea de átomos.
A
B
A
B
A
B
Figura 2: Difracción en la cadena lineal
a) Demuestre que la condición de interferencia es nλ = a cos θ, en donde θ es el ángulo
entre la lı́nea de átomos y el haz difractado.
b) Demuestre que la intensidad del haz difractado es proporcional a |fA − fB |2 para n
impar y a |fA + fB |2 para n par.
c) Explique lo que ocurre si fA = fB .
NOTA: Estos resultados se generalizan en el caso de sistemas lineales más complicados,
como por ejemplo una molécula de ADN (ver Problema Difracción de Rayos X por una
molécula de ADN).
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