Relación de Problemas 3

Universidad
de Murcia
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Ejercicios de Ampliación de Geometrı́a Diferencial
Curso 2000–2001
Hoja no 3: Completitud y teorema de Hopf-Rinow
III.1. Sea d la distancia intrı́nseca en la esfera S2 (r) de radio r. Demuestre que para
cada par de puntos p1 , p2 ∈ S2 (r) se tiene
d(p1 , p2 ) 6 πr
y se da la igualdad si, y sólo si, p1 y p2 son puntos antı́podas.
III.2. Sea d la distancia intrı́nseca en la esfera S2 (r) de radio r y sea N el polo norte.
Determine explı́citamente d(N, p), para cualquier punto p.
III.3. Estudie si el cono de dos hojas dado por S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 =
z 2 , (x, y, z) 6= (0, 0, 0)} es una superficie completa.
III.4. Sea S ⊂ R3 una superficie regular que viene dada como una superficie de nivel
S = f −1 (c) para una función diferenciable f definida sobre R3 . Estudie si S
es completa ¿Qué ocurre si la función f es diferenciable sólo sobre un abierto
W ⊂ R3 , W 6= R3 ?
III.5. Sea ⊂ R3 una superficie completa y sea F ⊂ S un subconjunto cerrado y no
vacı́o tal que su complementario S − F es conexo. Demuestre que S − F es una
superficie regular no completa.
III.6. Sea {pn } una sucesión de puntos en una superficie regular S. Entonces {pn }
converge a un punto p0 ∈ S en la distancia intrı́nseca d si, y sólo si, {pn }
converge a p0 ∈ S como una sucesión de puntos en R3 .
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III.7. Sea S ⊂ R una superficie completa para la cual existe un r > 0 tal que
d(p1 , p2 ) 6 r para todos p1 , p2 ∈ S. Pruebe que S es compacta.
III.8. Una superficie regular y conexa S se dice que es extensible si existe una superficie regular y conexa S̄ tal que S ⊂ S̄ como un subconjunto propio. En caso
contrario, se dice que S es inextensible. Demuestre que toda superficie completa
es inextensible.
III.9. El recı́proco del resultado anterior es falso. Encuentre una superficie (regular
y conexa) que sea inextensible y que, sin embargo, no sea completa.
III.10. Demuestre que toda superficie cerrada es completa.
III.11. El recı́proco del resultado anterior es falso. Encuentre una superficie (regular
y conexa) completa que no sea cerrada.
III.12. Una curva divergente en una superficie S ⊂ R3 es una curva diferenciable
α : [0, ∞) −→ S ⊂ R3 que se sale de los compactos, es decir, tal que para cada
conjunto compacto A ⊂ S existe un instante t0 < ∞ de modo que α(t) ∈
/ A
para todo t > t0 . Se define entonces la longitud de α como
Z
L(α) = lı́m
t→∞
t
|α0 (u)|du 6 ∞.
0
Demuestre que S ⊂ R3 es completa si, y sólo si, toda curva divergente tiene
longitud infinita. Esta fue, de hecho, la definición original de completitud dada
por Hopf y Rinow en su artı́culo Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Flächen, Comment. Math. Helv. 3 (1931), 209-225.
III.13. Se dice que una geodésica γ : [0, ∞) −→ S ⊂ R3 es un rayo que sale de
p = γ(0) si γ minimiza la distancia entre p y γ(t) para todo t ∈ [0, ∞). Demuestre que si S ⊂ R3 es una superficie completa y no compacta y p ∈ S es un punto
cualquiera de S, entonces existe un rayo que sale de p.
III.14. Sea φ : S1 −→ S2 un difeomorfismo entre dos superficies regulares S1 y S2 .
Demuestre que si S2 es completa y existe una constante c > 0 tal que
|v| > c|dφp (v)|
para todo p ∈ S1 y para todo v ∈ Tp S1 , entonces S1 también es completa.
III.15. Sea φ : S1 −→ S2 una isometrı́a local entre dos superficies regulares (y
conexas) S1 y S2 . Suponga que S1 es completa y que S2 cumple la siguiente
propiedad: dos puntos cualesquiera de S2 se pueden unir mediante un único
segmento de geodésica. Concluya que φ es una isometrı́a global.
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