Ejercicios Proba 2

Probabilidad II
TAREAS 2018-1
Unidad 1: ESPACIOS DE MEDIDA DE PROBABILIDAD
1.6)
a) Sea S un σ − álgebra de subconjuntos de Ω 6= ∅ y sea S ∗ := {Ω \ A : A ∈ S}. Demuestre que
S ∗ es σ − álgebra de subconjuntos de Ω y que S ∗ = S.
b) Sean S1 y S2 dos σ − álgebras de subconjuntos de Ω 6= ∅. Demuestre que S1 ∩ S2 es σ − álgebra
de subconjuntos de Ω, y mediante un contraejemplo demuestre que S1 ∪ S2 no necesariamente.
c) Sea T un conjunto T
arbitrario no vacı́o. Para cada t ∈ T sea St un σ − álgebra de subconjuntos
de Ω 6= ∅. Si F := t∈T St demuestre que F es σ − álgebra de subconjuntos de Ω.
1.11) Sean C1 y C2 dos clases no vacı́as de subconjuntos de Ω 6= ∅. Demuestre que:
a) Si C1 ⊆ C2 entonces σ(C1 ) ⊆ C2
b) σ(σ(C1 )) = σ(C1 )
c) σ(C1 ∪ C2 ) = σ(σ(C1 ) ∪ σ(C2 ))
d) Si Ω 6= ∅ es un conjunto numerable y C := {{ω} : ω ∈ Ω} entonces σ(C) = ℘(Ω) (conjunto
potencia de Ω).
1.15) Si C := { ]a, b [ ⊂ R : a ≤ b} entonces a σ(C) se le denomina σ − álgebra de Borel en R y se le
denota B(R) . Demuestre que [a, b ] , ]a, +∞[ , ] − ∞, b [ , [a, +∞[ , ] − ∞, b ] , [a, b [ , ]a, b ] , ∅ y R son
elementos de B(R) .
1.18)
a) Sea S1 un σ − álgebra de subconjuntos de Ω1 =
6 ∅ y S2 un σ − álgebra de subconjuntos de
Ω2 6= ∅. Definiendo
S1 ⊗ S2 := {A × B : A ∈ S1 , B ∈ S2 }
demuestre que S1 ⊗ S2 no es necesariamente un σ − álgebra de subconjuntos de Ω1 × Ω2 .
b) Sean C como en la Tarea 1.15, C 2 = C × C y B(R2 ) := σ(C 2 ). Demuestre que
B(R2 ) 6= B(R) ⊗ B(R) pero que B(R2 ) = σ(B(R) ⊗ B(R))
c) Sean las clases de subconjuntos de R definidas como D := { ] − ∞, x[ : x ∈ R}, E := { [x, +∞[ :
x ∈ R} y G := { ]x, +∞[ : x ∈ R}. Demuestre que
B(R) = σ(D) = σ(E) = σ(G)
1.22
a) Considere una sucesión de conjuntos {An : n ∈ N} definida mediante
(
[ −1/n , 0 ] si n impar
An :=
[ 0 , 1/n ]
si n par
¿Existe lı́m An ? Demuestre.
b) Considere una sucesión de conjuntos {An : n ∈ N} definida mediante
(
A
si n impar
An :=
Ac si n par
¿Existe lı́m An ? Demuestre.
c) Sean A1 , A2 , . . . ∈ S donde S es un σ − álgebra de subconjuntos de Ω 6= ∅. Demuestre que
lı́m inf An y lı́m sup An pertenecen a S y que, de existir, lı́m An también.
d) Para una sucesión de conjuntos dada {An : n ∈ N} se define la sucesión {Bn : n ∈ N} tal que
B1 := A1
Bn := An \
y
n−1
[
Ak ,
para n ≥ 2.
k=1
Demuestre que:
1) Bn ⊆ An para todo n ∈ N
2) Bn ∩ Bm = ∅ siempre que m 6= n
∞
∞
[
[
3)
Bn =
An
n=1
n=1
e) Para cualquier sucesión {An ⊆ Ω : n ∈ N} demuestre que:
1) lı́m sup An = {ω ∈ Ω : ω ∈ An para una infinidad de valores de n}
2) lı́m inf An = {ω ∈ Ω : ω ∈ An para todo n excepto un número finito de ellos}
f) Suponiendo que ∀n ∈ N : An ⊆ Bn demuestre que lı́m sup An ⊆ lı́m inf Bn
g) Para una sucesión cualquiera {An ⊆ Ω : n ∈ N} demuestre que:
1)
2)
3)
4)
(lı́m inf An )c = lı́m sup Acn
(lı́m sup An )c = lı́m inf Acn
lı́m An = A ⇔ lı́m Acn = Ac
lı́m An = A ⇔ lı́m 1An = 1A
h) Si lı́m An = A demuestre que
lı́m(An ∗ B) = A ∗ B
donde la operación binaria de conjuntos ∗ puede ser unión, intersección, diferencia o diferencia
simétrica.
1.25)
a) Considere el experimento aleatorio de lanzar una vez un dado con caras numeradas del 1 al 6.
Para cualquier σ − álgebra de eventos F se definen las siguientes funciones para cada E ∈ F :
P1 (E) :=
|E|
,
6
P2 (E) :=
|E|
2
+ 1E (4) ,
10
5
P3 (E) := 1E (4)
Demuestre que P1 , P2 y P3 son medidas de probabilidad para el mismo espacio medible correspondiente a este experimento aleatorio.
b) Sean P1 y P2 dos medidas de probabilidad definidas sobre un mismo espacio medible (Ω, F). Si
se define
Hα := αP1 + (1 − α)P2 , 0 ≤ α ≤ 1
demuestre que Hα es medida de probabilidad sobre (Ω, F) para todo α ∈ [0, 1]. Más aún,
que cualquier combinación lineal convexa de n medidas de probabilidad definidas sobre (Ω, F)
resulta en una medida de probabilidad
también sobre dicho espacio medible. Finalmente, si se
P
tiene α1 , α2 , . . . ∈ R+ tales que n αn = 1 y una sucesión de medidas de probabilidad P1 , P2 , . . .
definidas sobre (Ω, F) y se define
X
P :=
α n Pn
n
¿Es P medida de probabilidad sobre (Ω, F)?
c) Considere una sucesión {xn ∈ R : n ∈ N} y otra {an ∈ R+ ∪ {0} : n ∈ N} tal que
Sea P : B(R) → [0, 1] definida como
X
P(B) :=
an 1 ,
B ∈ B(R)
P
an = 1 .
n ∈ {m : xm ∈ B}
n
¿Es P medida de probabilidad en (R, B(R))?
d) Sea (Ω, F, P) un espacio de medida de probabilidad y defı́nase
S := {E ∈ F : P(E) = 0 o bien P(E) = 1}
¿Es S un σ − álgebra de subconjuntos de Ω?
1.27) Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sean A, B ∈ F. Demuestre que
máx{P(A) + P(B) − 1, 0} ≤ P(A ∩ B) ≤ mı́n{P(A), P(B)}
1.29) Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sean A1 , A2 , . . . ∈ F. Demuestre que
[ a) sup{P(An ) : n ∈ N} ≤ P
An
n
b) P
\
An ≤ ı́nf{P(An ) : n ∈ N}
n
1.36) Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sea B ∈ F tal que P(B) > 0. Demuestre que:
a) La función PB : F → R definida por
PB (E) :=
P(E ∩ B)
,
P(B)
∀E ∈ F
es medida de probabilidad sobre (Ω, F).
b) La función QB : FB → R, donde FB = {A∗ = A ∩ B : A ∈ F} es el σ − álgebra inducido por
B, definida por
P(A ∩ B)
QB (A∗ ) :=
, ∀ A∗ ∈ FB
P(B)
es medida de probabilidad sobre (B, FB ).
1.40) Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sean B, C ∈ F tales que P(B ∩ C) > 0. Demuestre que:
(PB )C = (PC )B = PB∩C
1.50) Demuestre que independencia por pares de eventos no implica independencia de todos los eventos.
1.52) Demuestre que. . .
a) . . . independencia condicional no implica independencia.
b) . . . independencia no implica independencia condicional.
1.54) Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad con Ω finito y tal que
P({ω}) = P({ω 0 }) ,
∀ ω, ω 0 ∈ Ω.
Deduzca explı́citamente la regla de correspondencia que define a P, es decir para todo E ∈ F :
P(E) = . . .?
Unidad 2: VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS COMO FUNCIONES MEDIBLES
2.12) Sea S := {A ⊆ R : A es numerable o Ac es numerable}. Demuestre que S es un σ − álgebra de
subconjuntos de R.
2.15) Si X es variable aleatoria y g : R → R es una función continua demuestre entonces que g es una
función B(R)-medible y que por lo tanto Y := g(X) es variable aleatoria.
LR93) Considere el espacio medible (Ω, F) con F = {∅, Ω}. Demuestre que la función X : Ω → R es
variable aleatoria si y sólo si X es constante.1
LR94) Sea (Ω, F) un espacio medible tal que F = {∅, Ω, A, Ac } donde A ⊆ Ω. Demuestre que toda función
medible X : Ω → R es constante en A y en Ac . Por lo tanto toda función medible respecto a esta
σ − álgebra toma a lo sumo dos valores distintos. El siguiente ejercicio generaliza este resultado.
LR95) Sea A1 , . . . , An una partición finita de Ω y considere el espacio medible (Ω, F) donde F = σ{A1 , . . . , An }.
Demuestre que X : Ω → R es variable aleatoria si y sólo si X es constante en cada elemento de la
partición. En consecuencia, X toma a lo sumo n valores distintos.
2.25) Sean X, Y variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad (Ω, F, P). Demuestre que:
a) Si ∀ ω ∈ Ω : Y (ω) 6= 0 entonces X/Y es variable aleatoria.
b) Si A ∈ F entonces Z es variable aleatoria donde para cada ω ∈ Ω :
(
X(ω) si ω ∈ A
Z(ω) =
Y (ω) si ω ∈ Ω \ A
c) Si {Bn : n = 1, 2, . . .} ↑ B donde B, B1 , B2 , . . . ∈ B(R) entonces
{X −1 (Bn ) : n = 1, 2, . . .} ↑ X −1 (B).
2.26) Sea {Xn : n = 1, 2, . . .} una sucesión de variables aleatorias (extendidas o no) definidas sobre un
mismo espacio de probabilidad (Ω, F, P). Demuestre que las siguientes funciones de Ω → R son
variables aleatorias extendidas:
a) Z(ω) := ı́nf{Xn (ω) : n = 1, 2, . . .}
b) X ∗ (ω) := lı́m sup{Xn (ω) : n = 1, 2, . . .}
c) X∗ (ω) := lı́m inf{Xn (ω) : n = 1, 2, . . .}
2.27) Sea {Xn : n = 1, 2, . . .} una sucesión de variables aleatorias (extendidas o no) definidas sobre un
mismo espacio de probabilidad (Ω, F, P). Demuestre que:
a) {ω ∈ Ω : {Xn (ω)} converge puntualmente } ∈ F
b) Si X es variable aleatoria sobre (Ω, F, P) entonces
{ω ∈ Ω : lı́m Xn (ω) = X(ω)} ∈ F
n→∞
1
Los ejercicios marcados como LR# fueron tomados del libro Curso intermedio de Probabilidad del Dr. Luis Rincón,
editado por la Facultad de Ciencias de la UNAM, con la convención de que # es el número de ejercicio en dicho libro.
2.32) Considere el espacio medible (Ω, F) donde Ω = [0, 1] y F = B(R) ∩ [0, 1]. Si se define la función
X : Ω → R como
(
x1 , si ω ∈ [0, ω0 [
X(ω) :=
x2 , si ω ∈ [ω0 , 1]
donde x1 6= x2 y 0 < ω0 < 1, obtenga σ(X).
2.37) Sea X una variable aleatoria con función de distribución de probabilidades F. Demuestre que existe
una única función de distribución de probabilidades discreta FD , una única función de distribución
de probabilidades continua FC y un único valor p ∈ [0, 1] tal que
F (x) = pFD (x) + (1 − p)FC (x) ,
2.49)
∀ x ∈ R.
a) Sea FX,Y una función de distribución conjunta de probabilidades de un vector aleatorio (X, Y )
y sean FX y FY sus funciones de distribución marginal de probabilidades correspondientes.
Demuestre que para cualesquierea x, y ∈ R :
máx{FX (x) + FY (y) − 1, 0} ≤ FX,Y (x, y) ≤ mı́n{FX (x), FY (y)}
y que las cotas ya no pueden mejorarse por ser funciones de distribución conjunta de probabilidades. Se les conoce como cotas de Fréchet-Hoeffding.
b) Sea (X, Y ) un vector aleatorio que representa las coordenadas cartesianas de un punto “escogido
al azar” de una circunferencia unitaria con centro en el origen, esto es que si las coordenadas
polares de un punto sobre dicha circunferencia son (1, Θ) entonces la variable aleatoria Θ tiene
distribución de probabilidad continua uniforme sobre el intervalo semiabierto [0, 2π[. Obtenga
explı́citamente la función de distribución conjunta FX,Y y a partir de ella deduzca las funciones
de distribución marginal FY y FY .
2.55) Demuestre que las funciones W, M : [0, 1]2 → [0, 1] definidas como:
W (u, v) := máx{u + v − 1, 0} ,
M (u, v) := mı́n{u, v} ,
son funciones cópula.
2.58) Demuestre que para toda cópula C se cumple lo siguiente:
a) |C(u2 , v2 ) − C(u1 , v1 )1 ≤ |u2 − u1 | + |v2 − v1 | y por lo tanto C es continua sobre todo su dominio.
b) Más aún, que C es uniformemente continua.
c) Considere unas constantes a, b ∈ [0, 1] y las funciones univariadas f (t) := C(a, t), g(t) :=
C(t, b) y δ(t) := C(t, t) donde t ∈ [0, 1]. Entonces f, g, δ son funciones monótonas crecientes y
uniformemente continuas.
2.65) Mediante el Corolario de Sklar deduzca la cópula subyacente de la distribución conjunta obtenida
en el ejercicio 2.49b.
2.68) Sean X, Y variables aleatorias continuas con cópula subyacente CX,Y , y sean α y β funciones estrictamente monótonas sobre Ran X y Ran Y, respectivamente. Demuestre que:
a) Si α es creciente y β decreciente entonces
Cα(X),β(Y ) (u, v) = u − CX,Y (u, 1 − v)
b) Si α es decreciente y β creciente entonces
Cα(X),β(Y ) (u, v) = v − CX,Y (1 − u, v)
c) Si α y β son decrecientes entonces
Cα(X),β(Y ) (u, v) = u + v − 1 + CX,Y (1 − u, 1 − v)
2.70) Si X es una variable aleatoria continua demuestre que la cópula subyacente al vector aleatorio
(X, −X) es igual a la cota inferior de Fréchet-Hoeffding.
2.72) Si X es una variable aleatoria continua, Y = α(X) con α una función estrictamente decreciente sobre
Ran X, demuestre que la cópula subyacente al vector aleatorio (X, Y ) es igual a la cota inferior de
Fréchet-Hoeffding.
2.76) Calcule las dependencias de Hoeffding y Schweizer-Wolff para las cópulas W, Π y M.
Unidades 3 y 4: CONVERGENCIA Y TEOREMAS LÍMITE
3.8) Sean a1 , . . . , an números reales positivos y defı́nase:
1
(a1 + a2 + · · · + an )
n
:= (a1 · a2 · · · an )1/n
1
:= 1 1
1
( + a2 + · · · + a1n )
n a1
aA :=
(media aritmética)
aG
(media geométrica)
aH
(media armónica)
Aplicando la Desigualdad de Jensen demuestre que
aH ≤ aG ≤ aA
3.9) Sean X1 , X2 , . . . variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas Bernoulli con parámetro 0 < θ < 1 y para cada n ∈ {1, 2, . . .} defı́nanse las variables aleatorias:
X n :=
2 /4
Demuestre que P( X n ≤ θ − ε) ≤ e−nε
X1 + X 2 + · · · + X n
n
para todo valor ε > 0.
3.24) Del libro Statistical Inference de Casella y Berger los ejercicios: 5.32, 5.33, 5.34, 5.35, 5.39 y 5.41.