Teor´ıa de la Integración

Teorı́a de la Integración
Prof. Alejandro Ramı́rez
Facultad de Matemáticas, PUC
Primer Semestre, 2013
Tarea 1
1. Caracterización de los abiertos en R. Sea O un abierto en R. Para cada x ∈ O definimos
bx := sup{b : (x, b) ⊂ O} y ax := inf{a : (a, x) ⊂ O}.
(i) Demuestre que los conjuntos {b : (x, b) ⊂ O} y {a : (a, x) ⊂ O} son no vacı́os.
(ii) Demuestre que (ax , bx ) ⊂ O.
(iii) Demuestre que ax ∈
/ O y bx ∈
/ O.
(iv) Concluya que existe una colección numerable de intervalos abiertos disjuntos {(ak , bk ) :
k ∈ N} tales que O = ∪∞
k=0 (ak , bk ).
2. Supremo de medida externa Considere un conjunto de ı́ndices I. Para cada i ∈ I considere
una medida externa µi . Pruebe que
inf µi
i∈I
es una medida externa.
3. Caracterización de continuidad. Sea f (x) : R → R una función que satisface la propiedad
del valor intermedio: si f (x0 ) = y0 y f (x1 ) = y1 , y y0 < y < y1 , entonces existe un x entre x0
y x1 tal que f (x) = y. Suponga que f (x) es monótona. Demuestre que f es continua.
4. Abierto extraño. Sea f , una biyección desde los naturales a los numeros racionales del
intervalo [0, 1]. Sea rn > 0, n ∈ N una sucesión decreciente tal que r1 < 1/2 y definamos el
abierto,
O(f, r) = ∪∞
n=1 B(f (n), rn ),
dónde para x ∈ [0, 1], r > 0, definimos B(x, r) = {y ∈ [0, 1] : |x − y| < r}. ¿ Si limn→∞ rn = 0,
existe una biyección f tal que 0(f, r) 6= [0, 1]?
5. Puntos de continuidad. Decimos que un subconjunto E de un espacio métrico es un conjunto
de tipo Fσ si se puede escribir como la unión de una cantidad numerable de cerrados. Sea D(f )
el conjunto de discontinuidades de una función f real acotada definida en un intervalo cerrado
[a, b]. Demuestre que D(f ) es un conjunto de tipo Fσ .
Sugerencia: Note que x ∈ D(f ) si y solo sihwf (x) > 0 donde wf (x) : [a, b] →i R es el módulo
de continuidad definido por w(x) := limδ→0 supy∈B(x;δ) f (y) − inf y∈B(x;δ) f (y) .
6. Puntos de convergencia. Sea fn una sucesión de funciones reales continuas. Muestre que el
conjunto de puntos donde esta sucesión converge es un Fσδ .
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