1
Conjuntos
1. Describa
los siguientes conjuntos.
los elementos de 3
2
A = x|x2 − 1 = 0 . D = x|x
− 2x 2+ x =2 2 .
2
B = x|(x − 1) = 0 . E= x|(x + 8) = 9 .
C = {x|x + 8 = 9}. F = x|(x2 + 16x)2 = 172 .
2. Para los conjuntos del ejercicio anterior, observe que B ⊆ A. Citar todas las relaciones de inclusión ⊆ que son válidas entre los conjuntos.
3. Sean A = {1}, B = {1, 2}. Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar
que unas son ciertas y explicar por qué las otras son falsas).
(a) A ⊂ B. (d) 1 ∈ A.
(b) A ⊆ B. (e) 1 ⊆ A.
(c) A ∈ B. (f) 1 ⊂ B.
4. Resolver el problema anterior pero si A = {1} y B = {{1}, 1}.
5. Dado un conjunto arbitarrio A y el conjunto vacio φ. ¿Es cierto que φ ⊆ A?.
Es decir, ¿es cierto que el conjunto vacio es siempre un subconjunto de cualquier
conjunto?
6. Dado el conjunto S = {1, 2, 3, 4}. Expresar todos los subconjuntos de S. Note que
en total hay 16.
7. Dados los cuatro conjuntos siguientes A = {1, 2}, B = {{1}, {2}}, C = {{1}, {1, 2}}, D =
{1}, {2}, {1, 2}},
discutir la validez de las afirmaciones siguientes.
(a) A = B. (d) A ∈ C. (g) B ⊂ D.
(b) A ⊆ B. (e) A ⊂ D. (h) B ∈ D.
(c) A ⊂ C. (f) B ⊂ C. (i) A ∈ D.
8. demostrar las propiedades siguientes de la igualdad de conjuntos.
(a) {a, a} = {a}.
(b) {a, b} = {b, a}.
(c) {a} = {b, c} si y sólo si a = b = c.
9. Demostrar las siguientes relaciones entre conjuntos.
(a) A ∪ B=B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A.
(b) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
(c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2
Propiedades Algebraicas de R
10. Demuestre las siguientes afirmaciones.
(a) Si ax = a para algún número a 6= 0, entonces x = 1.
(b) x2 − y 2 = (x − y)(x + y).
(c) Si x2 = y 2 , entonces x = y o x = −y. (d) x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ).
(e) xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 ).
(f) Sea n ∈ N, entonces (−x)2n−1 = x2n−1 .
(g) x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ).
(h) Sea n ∈ N, con n impar. xn + y n = (x + y)(?).
11. Demuestre las siguientes igualdades. (a) ab = ac
bc , si b, c 6= 0.
(b) ab + dc = ad+bc
,
si
b,
d
=
6
0.
bd
(c) (ab)−1 = a−1 b−1 , si b, d 6= 0.
(d) ab dc = ac
bd , si b, d 6= 0.
a
ad
b
(e) c = bc , si b, c, d 6= 0.
d
(f) Si b, d 6= 0, entonces ab = dc si y solo si ad = bc. Determinar también cuando es:
b
a
=
b
a
12. Encontrar todos los números x para los que: (a) 4 − x < 3 − 2x.
(b) 5 − x2 < 8.
(c) 5 − x2 < −2.
(d) (x − 1)(x − 3) > 0.
(e) x2 − 2x + 2 > 0.
(f) x2 + x + 1 > 2.
(g) x2 − x + 10 > 16.
(h) x2 + x + 1 > 0.
1
(i) x1 + 1−x
> 0.
x−1
(j) x+1 > 0.
13. Demostrar lo siguiente: (a) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.
(b) Si a < b, entonces −b < −a.
(c) Si a < b y c > d, entonces a − c < b − d.
(d) Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.
(e) Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.
(f) Si a > 1, entonces a2 > a.
(g) Si 0 < a < 1, entonces a2 < a.
(h) Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces ac < bd.
(i) Si 0 ≤ a < b, entonces a2 < b2 (j) Si a, b ≥ 0 y a2 < b2 , entonces a < b.
14. (a) Demostrar que si 0 ≤ x < y, entonces xn < y n .
(b) Demostrar que si x < y y n es impar, entonces xn < y n .
(c) Demostrar que si xn = y n y n es impar, entonces x = y.
(d) Demostrar que si xn = y n y n es par, entonces x = y o x = −y.
3
15. Expresar lo siguiente prescindiendo de signos de valor absoluto, tratando por separado distintos casos cuando sea necesario.
(a) |a + b| − |b|.
(b) ||x| + 1|.
(c) |x| − x2 .
(d) a − |a − |a||.
16. Encontrar todos los números x para los que se cumple: (a) |x − 3| = 8.
(b) |x − 3| < 8.
(c) |x + 4| < 2.
(d) |x − 1| + |x − 2| > 1.
(e) |x − 1| + |x + 1| < 2.
(f) |x − 1| + |x + 1| < 1.
(g) |x − 1| |x + 1| = 0.
(h) |x − 1| |x + 2| = 3.
17. El máximo de dos números x e y se denota por max(x, y) y el mı́nimo de x e y se
denota por min(x, y). Demostrar que:
max(x, y) =
x + y + |y − x|
2
min(x, y) =
x + y − |y − x|
2
Derivar además una fórmula para max(x, y, z) y min(x, y, z).
18. Demostrar que si x e y no son ambos cero, entonces:
x2 + xy + y 2 > 0
x4 + x3 y + x2 y 2 + xy 3 + y 4 > 0
19. Suponga que x es un número real que satisface la propiedad:
0≤x<h
para todo número real h > 0. Demuestre que entonces x = 0.
20. (a) Demostrar que si
|x − x0 | <
, |y − y0 | <
2
2
entonces:
|(x + y) − (x0 + y0 )| < |(x − y) − (x0 − y0 )| < 21. Demostrar que si
|x − x0 | < min
,1
2(|y0 | + 1)
4
y
|y − y0 | <
,
2(|x0 | + 1)
entonces:
|xy − x0 y0 | < 22. Demostrar que si y0 6= 0 y además
2
|y − y0 | < min
|y0 | |y0 |
,
2
2
entonces y 6= 0 y además:
1
1
<
−
y y0
!
,
5
23. Encontrar
una fórmula para
Pn
(i) P i=1 (2i − 1) = 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1).
n
(ii) i=1 (2i − 1)2 = 12 + 32 + 52 + · · · + (2n − 1)2 .
n
k
24. Si 0 ≤ k ≤ n, se define el coeficiente binomial
n
k
=
por
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n!
=
k!(n − k)!
k!
si k 6= 0, n, y como:
n
0
=
n
n
=1
(a) Demostrar que:
n+1
k
=
n
k−1
+
n
k
(b) Demuestre el teorema del binomio:
n X
n
n
n
n
(a+b)n = an +
an−1 b+
an−2 b2 +· · ·+
abn−1 +bn =
an−j bj
1
2
n−1
j
j=0
(c) Demuestre que:
n X
n
= 2n
j
j=0
(d)
n
X
(−1)j
j=0
n
j
=0
(d)
X n = 2n−1
l
l impar
(e)
X n = 2n−1
l
l par
25. (a) Demostrar que
n X
n
m
n+m
=
k
l−k
l
k=0
Sugerencia. Aplicar el teorema del binomio a (1 + x)n (1 + x)m .
(b) Demuestre que:
2 n X
n
2n
=
k
n
k=0
6
√
26. Demuestre que 3 es irracional. Sugerencia. aplı́quese el hecho de que todo entero
es de la forma 3n o 3n + 1 o 3n + 2.
√
√
27. Demuestre que 2 + 3 es irracional.
28. Demostrar la desigualdad de Bernoulli: Si h > −1, entonces:
(1 + h)n ≥ 1 + nh
29. Demuestre que si 0 < a < b, entonces:
√
a<
ab <
a+b
<b
2
30. Si a1 , a2 , · · · , an ≥ 0, entonces la media aritmética es:
An =
a + 1 + · · · + an
n
y la media geométrica es:
Gn =
√
n
a1 a2 · · · an
(a) Haciendo uso del hecho de ser Gn ≤ An cuando n = 2, demostrar por inducción
sobre K, que Gn ≤ An para n = 2k . (b) Para un n general, sea 2m > n. Aplı́quese
la parte (a) a los 2m números:
a1 , · · · , an , An , · · · An
| {z }
2m −n veces
para demostrar que Gn ≤ An
31. Sea n1 el menor entero positivo n para el que la desigualdad (1 + x)n > 1 + nx + nx2
es cierta para todo x > 0. Calcular n1 , y demostrar que la desigualdad es cierta
para todos los enteros n ≥ n1 .
32. Dados números positivos a1 , a2 , a3 , · · · , tales que an ≤ can−1 para todo n ≥ 2,
donde c es un número positivo fijo, aplı́quese el método por inducción para demostrar que an ≤ a1 cn−1 para cada n ≥ 1.
7
Sucesiones y Series.
33. Considere dos sucesiones convergentes {an }n∈N y {bn }n∈N . Sean las sucesiones:
Mn = M ax(an , bn ), mn = min(an , bn ). Demuestre que estas sucesiones son convergentes y calcule sus lı́mites.
34. Tome una sucesión {an }n∈N tal que lı́m a3n = l3 , con l 6= 0. Demuestre que:
n→∞
|an − l| ≤
a3n − l3
3 2
4l
y concluya que lı́m an = l.
n→∞
¿Puede mantenerse el resultado si l = 0?, ¿Puede mantenerse el resultado si en
lugar de cubos se tuvieran cuadrados?.
35. Considere la sucesión {an }n∈N definida recursivamente como:
n +1
a1 = 0 y an+1 = 3a
an +3 para n ≥ 1. ¿Es la sucesión convergente?, en caso afirmativo
calcule el valor lı́mite.
36. Considere la sucesión {an }n∈N definida recursivamente como:
n +3
a1 = 2 y an+1 = 2a
an +2 para n ≥ 1. ¿Es la sucesión convergente?, en caso afirmativo
calcule el valor lı́mite.
37. Considere la sucesión
√ {an }n∈N definida recursivamente como:
a1 = 2 y an+1 = 2 + 2an para n ≥ 1. ¿Es la sucesión convergente?, en caso
afirmativo calcule el valor lı́mite.
38. Demuestre que la sucesión:
√
r q
q
√
√
2, 2 2, 2 2 2, · · ·
converge y calcule su lı́mite.
39. Sean 0 < a1 < b1 y definamos las sucesiones recursivamente como:
p
an+1 = an bn ,
an + bn
.
2
Muestre que las dos sucesiones convergen y que convergen al mismo valor.
bn+1 =
40. Suponga una sucesión {an }n∈N tal que an ≥ 0 para todo n ∈ N y que además
lı́m an = l. Demuestre que:
n→∞
(1) l ≥ 0.
√
√
m
(2) lı́m m an = l con m ∈ N.
n→∞
41. Suponga que {an }n∈N es una sucesión acotada y que {bn }n∈N es una sucesión que
converge a cero. Demuestre que entonces la sucesión {an bn }n∈N converge a cero.
8
42. Las siguientes sucesiones son convergentes. Por tanto, para cada > 0 prefijado
existe un natural N ∈ N, tal que |an − L| < si n ≥ N siendo L = lı́m an . Detern→∞
minar en cada caso el valor N que corresponde a los siguientes valores de y las
siguientes sucesiones: = 1; 0,1; 0,01; 0,001.
an =
1
n
an =
n
n+1 .
an =
(−1)n+1
.
n
an =
1
n! .
an =
2n
n3 +1 .
an = (−1)n
9 n
.
10
43. Compruebense los siguientes limites.
lı́m
n→∞ n
n
= 1.
+1
n+3
= 0.
+4
p
√
8
8
lı́m
n2 + 1 − n2 = 0.
lı́m
n→∞ n3
n→∞
lı́m
n!
n→∞ nn
k < n2 .
= 0. Sugerencia: n! = n(n − 1) · · · k! para k < n, en particular, para
lı́m
√
n
a = 1, a > 0.
lı́m
√
n
n = 1.
n→∞
n→∞
lı́m
p
n
n2 + n = 1.
n→∞
lı́m
n→∞
√
n
an + bn = maximo(a, b).
α(n)
lı́m
= 0, donde α(n) es el número de números primos que dividen a
n
n. Sugerencia: El hecho de que todo número primo es ≥ 2 proporciona una
estimación muy sencilaa de lo pequeño que debe ser α(n).
n→∞
9
n
X
lı́m
n→∞
lı́m
kp
k=1
np+1
1
=
1
.
p+1
= 0, si p > 0 y p ∈ Q.
n→∞ np
(ln(n))a
= 0 para todo a > 0, b > 0 y a, b ∈ Q.
n→∞
nb
a n
lı́m 1 +
= ea para todo a ∈ Q.
n→∞
n
lı́m
44. Calcule los siguientes lı́mites.
n
n+1
lı́m
−
.
n→∞ n + 1
n
√
√
lı́m n − n + a n + b .
n→∞
2n + (−1)n
.
n→∞ 2n+1 + (−1)n+1
lı́m
an − bn
.
n→∞ an + bn
lı́m
lı́m nk cn , con |c| < 1, k ∈ N.
n→∞
2
2n
lı́m
.
n→∞ n!
√
(−1)n nsen(nn )
lı́m
.
n→∞
n+1
lı́m an , donde a1 = 0, a2 = 3, y para todo n ≥ 3 tome an = 21 (an−1 + an−2 ).
n
Sugerencia: demuestre por inducción que an = 2 + 4 − 12 .
n→∞
45. Investigue si las siguientes sucesiones son convergentes.
an =
an =
√
n
e+
√
n
e+
√
n
√
n
an =
1
n+1
an =
1
n2
e2 +···+
n
e2 +···+
n
+ ··· +
+
1
(n+1)2
√
n
√
n
en
.
e2n
1
2n
.
.
+ ··· +
1
(n+n)2
.
10
an =
n
(n+1)2
an =
n
n2 +1
+
+
n
(n+2)2
n
n2 +2n
+ ··· +
+ ··· +
n
(n+n)2
n
n2 +n2
.
.
46. Considere la sucesión:
an = 1 +
1 1
1
+ + · · · + − ln(n).
2 3
n
Suponga valida la siguiente desigualdad:
1
1
< ln(n + 1) − ln(n) < .
n+1
n
Demuestre que entonces la sucesión {an }n∈N es decreciente y que cada an ≥ 0 de
lo cual concluya que la sucesión es convergente.
47. Suponga que lı́m an = l, demuestre que entonces:
n→∞
lı́m
n→∞
a1 + · · · + an
= l.
n
an+1
48. Súpongase que an > 0 para todo n ∈ N y que lı́m
= l. Demuestre que
n→∞ an
√
n
lı́m an = l.
n→∞
49. Demuestre que las sucesiones an =
Cauchy.
(−1)n
√
n
1
y bn = (−1)n 2−n+ 2 son sucesiones de
50. Suponga una sucesión {an }n∈N tal que para todo n ∈ N satisface la desigualdad:
|an+1 − an | ≤ c |an − an−1 | ,
donde 0 < c < 1. Demuestre que entonces la sucesión {an }n∈N es de Cauchy. ¿Puede
mantenerse el resultado si c = 1?
51. Suponga una sucesión {an }n∈N tal que para todo n ∈ N satisface la desigualdad:
|an+1 − an | ≤ cn ,
donde 0 < c < 1. Demuestre que entonces la sucesión {an }n∈N es de Cauchy.
52. Tome {an }n∈N una sucesión de Cauchy tal que lı́m an = l. Muestre que si N ∈ N es
n→∞
tal que |an − am | < para todo n, m > N , entonces |an − l| ≤ para todo n > N .
53. Tome {an }n∈N la sucesión definida recursivamente como:
a1 = a2 = 1, y an = an−1 + an−2 para n ≥ 3. Tome bn =
bn bn−1 = bn−1 + 2 para n ≥ 2.
an+1
an .
Demuestre que:
11
bn = 1 +
2
bn−1
|bn+1 − bn | <
para n ≥ 2.
2
3
|bn − bn−1 | para n ≥ 2.
Concluya que la sucesión {bn }n∈N es convergente y calcule su limite.
54. Calcule el lı́m supan y lı́m inf an para cada una de las siguientes sucesiones:
n→∞
an =
n→∞
1
n.
an = (−1)n n1 .
an = (−1)n 1 +
an =
√
n
n.
1
n
.
12
Funciones y Limites de funciones.
55. Definimos las cantidades:
bxc = supremo {n ∈ Z : n ≤ x}
dxe = inf imo {n ∈ Z : n ≥ x}
Bosqueje la grafica de las funciones definidas por las reglas de asignacion:
(a) f1 (x) = bxc
(b) f2 (x) = dxe
(c) f3 (x) = dxe − bxc
(d) f4 (x) = x − bxc
x
(e) f5 (x) = |x|
56. En cada caso encuentre el dominio√de f ◦ g y una formula para f ◦ g(x).
(a) f (x) = 2x
√ − 3 (x ∈ R), g(x) = x (x ∈ [0, ∞)).
(b) f (x) = 4 − x2 (x ∈ [−2, 2]), g(x) = x31−1 (x ∈ R − 1).
(c) dom(f
)1 = dom(g) = [0, +∞), y
si x ∈ Q y se expresa como pq con (p, q) = 1.
q
f (x) =
si x es irracional.
0
1
si x es racional
g(x) =
0
si x es irracional.
57. Dadas tres funciones, sera cierto que f ◦ (g + h) y (f ◦ g) + (f ◦ h) representan
a la misma funcion. En caso afirmativo demuestrelo, en caso negativo muestre un
ejemplo para el cual no se cumpla.
58. Tome q, r funciones racionales. Muestre que:
q + r, qr,
q
r
son todas funciones racionales, dedusca ademas que la composicion de dos funciones
racionales es una funcion racional.
59. Tome las funciones i, f, g, h definidas (para x 6= 0) por:
i(x) = x, f (x) = −x, g(x) =
1
1
, h(x) = − .
x
x
Muestre que la composicion de las funciones puede ser resumida en la tabla:
◦
i
f
g
h
i
i
f
g
h
f
f
i
h
g
g
g
h
i
f
h
h
g
f
i
13
60. Construya una tabla similar para las funciones definidas (para
x ∈ R − {0, 1}) por:
i(x) = x,
p(x) = x1 ,
1
f (x) = 1−x
,
q(x) = 1 − x,
g(x) = 1 − x1
x
r(x) = x−1
