Medidas. Problemas para examen

Medidas
Problemas para examen
Sigma-álgebras
1. Propiedades elementales de σ-álgebras. Demuestre que una σ-álgebra es cerrada
bajo las intersecciones numerables, bajo las uniones finitas, bajo las intersecciones finitas
y bajo la operación de la diferencia de los conjuntos.
2. Propiedades de conjuntos finitos o numerables (repaso). Recuerde cómo se
demuestran las siguientes proposiciones:
Sea (Ak )k∈N una sucesión de conjuntos a lo más numerables. Entonces la unión
S
k∈N Ak también es un conjunto a lo más numerable.
Sea B un conjunto a lo más numerable y sea C ⊂ B. Entonces que C también es a
lo más numerable.
3. Subconjuntos finitos o numerables de un conjunto no numerable y sus complementos. Sea X un conjunto no numerable. Denotemos por F al conjunto de todos los
A ⊂ X tales que A es finito o numerable o X \ A es finito o numerable. Demuestre que F
es una σ-álgebra.
4. σ-álgebra generada por los subconjuntos finitos de un conjunto no numerable. Sea X un conjunto no numerable y sea F el conjunto de todos los subconjuntos
finitos de X. Describa la σ-álgebra generada por F.
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Medidas
En estos problemas se supone que (X, F, µ) es un espacio de medida.
5. Propiedad aditiva. Sean m ∈ N y A1 , . . . , Am ∈ F disjuntos a pares. Demuestre que
!
m
m
[
X
µ
Aj =
µ(Aj ).
j=1
j=1
6. Sean A, B ∈ F. Demuestre que
µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B).
7. Medida de la diferencia. Sean A, B ∈ F tales que A ⊂ B. Demuestre que
µ(A) + µ(B \ A) = µ(B).
8. Monotonı́a de medida. Sean A, B ∈ F tales que A ⊂ B. Demuestre que
µ(A) ≤ µ(B).
9. Medida de la unión de una sucesión creciente (continuidad de medida por
abajo). Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea (An )∞
n=1 una sucesión creciente de
conjuntos F-medibles, esto es,
∀n ∈ {1, 2, . . .}
An ⊂ An+1 .
Denotemos por B a la unión de esta sucesión de conjuntos: B =
∞
[
An . Demuestre que
n=1
lim µ(An ) = µ(B).
n→∞
10. Medida de la intersección de una sucesión decreciente (continuidad de
medida por arriba). Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea (An )∞
n=1 una sucesión
decreciente de conjuntos F-medibles, esto es,
∀n ∈ {1, 2, . . .}
An+1 ⊂ An .
Supóngase que el conjunto A1 es de medida finita, es decir µ(A1 ) < +∞. Denotemos por
∞
\
B a la intersección de esta sucesión de conjuntos: B =
Ak . Demuestre que
k=1
lim An = µ(B).
n→∞
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11. Medida de la intersección de una sucesión decreciente, contraejemplo.
Construya un espacio de medida (X, F, µ) y una sucesión decreciente (An )∞
n=1 de conjuntos
F-medibles tales que
!
∞
\
µ
Ak < lim µ(An ).
k=1
n→∞
12. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de dos conjuntos. Sean A, B ∈ F.
Demuestre que µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B).
13. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de una unión finita. Demuestre
por inducción sobre n que
!
n
n
[
X
µ
Ai ≤
µ(Ai ).
i=1
i=1
14. Propiedad subaditiva de la medida, el caso de una unión numerable. Sea
(An )∞
n=1 una sucesión en F. Demuestre que
!
∞
∞
X
[
µ(Ai ).
µ
Ai ≤
n=1
n=1
15. Criterio de que una medida es σ-finita. Sea (X, F, µ) un espacio de medida.
Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) Existe una sucesión[
(An )n∈N de conjuntos F-medibles tales que µ(An ) < +∞ para
todo n ∈ N y X =
An .
n∈N
(b) Existe una sucesión creciente [
(Bn )n∈N de conjuntos F-medibles tales que µ(Bn ) <
Bn .
+∞ para todo n ∈ N y X =
n∈N
(c) Existe una sucesión (Cn )n∈N de conjuntos disjuntos
por pares, F-medibles y tales
[
que µ(Cn ) < +∞ para todo n ∈ N, y X =
Cn .
n∈N
Si µ cumple con estas condiciones, entonces se llama σ-finita.
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Funciones medibles
16. Criterio general de la medibilidad de una función en términos de las
preimágenes de los conjuntos generadores de la sigma-álgebra en el contradominio. Sean X, Y conjuntos, sean F y H algunas σ-álgebras sobre X y Y respectivamente,
y sea G ⊂ 2Y un conjunto de subconjuntos de Y tal que H está generada por G. Además
sea f : X → Y una función. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:
(A) f es F-H medible, esto es, f −1 [B] ∈ F para todo B ∈ H.
(B) f −1 [B] ∈ F para todo B ∈ G.
17. Criterio de la medibilidad de una función real. Sea X un conjunto, sea F una
σ-álgebra sobre X y sea f : X → R una función. Demuestre que las siguientes condiciones
son equivalentes:
(a) f es F-medible, esto es, f −1 [B] ∈ F para todo conjunto B medible en R.
(b) f −1 [(a, +∞)] ∈ F para todo a ∈ R.
(c) f −1 [(r, +∞)] ∈ F para todo r ∈ Q.
18. Criterio de la medibilidad de una función con valores en el eje real extendido. Sea X un conjunto, sea F una σ-álgebra sobre X y sea f : X → R una función.
Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) f es F-medible, esto es, f −1 [B] ∈ F para todo conjunto B medible en R.
(b) f −1 [(a, +∞]] ∈ F para todo a ∈ R.
(c) f −1 [(r, +∞]] ∈ F para todo r ∈ Q.
19. Criterio de medibilidad de una función compleja. Sea X un conjunto, sea F
una σ-álgebra sobre X y sea f : X → C. Denotemos por g y h la partes real y la parte
imaginaria de f :
g = Re(f ),
h = Im(f ).
Demuestre que f ∈ M(X, F, C) si y sólo si g, h ∈ M(X, F, R).
20. Criterio de la medibilidad de la función caracterı́stica de un conjunto. Sea
X un conjunto, sea F ⊂ 2X una σ-álgebra sobre X y sea A ⊂ X. Denotemos por χA a la
función caracterı́stica (llamada también función indicadora) del conjunto A:
(
1, x ∈ A;
χA : X → R,
χA (x) =
0, x ∈ X \ A,
Demuestre que la función χA es F-medible si y sólo si A ∈ F.
21. Medibilidad de una función continua. Sean X, Y espacios topológicos y sean BX
y BY sus álgebras de Borel. Sea f ∈ C(X, Y ). Demuestre que f ∈ M(X, BX , Y, BY ), esto
es, f es BX –BY medible.
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Operaciones con funciones medibles
22. Supremo de una sucesión de funciones medibles. Sea X un conjunto, sea F
una σ-álgebra sobre X y sea (fn )n∈N una sucesión de funciones F-medibles, fn : X → R
para todo n ∈ N. Demuestre que es F-medible la función g : X → R, donde
∀x ∈ X
g(x) := sup fn (x).
n∈N
23. Ínfimo de una sucesión de funciones medibles. Sea X un conjunto, sea F una
σ-álgebra sobre X y sea (fn )n∈N una sucesión de funciones F-medibles, fn : X → R para
todo n ∈ N. Demuestre que es F-medible la función g : X → R, donde
∀x ∈ X
g(x) := inf fn (x).
n∈N
24. Medibilidad de la composición de funciones medibles. Sean X, Y, Z conjuntos
y sean F ⊂ 2X , G ⊂ 2Y , H ⊂ 2Z algunas σ-álgebras. Sea f ∈ M(X, F, Y, G) y sea
g ∈ M(Y, G, Z, H). Demuestre que g ◦ f ∈ M(X, F, Z, H).
25. Medibilidad de la composición de una función continua con una función medible. Sea (X, F) un espacio medible y sean Y, Z espacio topológicos. Sea f ∈ M(X, F, Y )
y sea g ∈ C(Y, Z). Demuestre que g ◦ f ∈ M(X, F, Z).
26. Cada subconjunto abierto del plano se puede representar como una unión
numerable de ladrillos abiertos. Sea A un subconjunto abierto de R2 . Demuestre que
existen an , bn , cn , dn ∈ R tales que
[
A=
(an , bn ) × (cn , dn ).
n∈N
27. Teorema sobre la medibilidad de una función continua de dos argumentos
reales, compuesta con dos funciones medibles. Sea (X, F) un espacio medible, sean
f, g ∈ M(X, F, R) y sea Φ ∈ C(R2 , Y ), donde Y es un espacio topológico. Definamos
h : X → Y mediante la siguiente fórmula:
∀x ∈ X
h(x) = Φ(f, g).
Demuestre que h ∈ M(X, F, Y ). Sugerencia: puede utilizar el resultado de 26.
Hay por lo menos dos caminos para demostrar la medibilidad de la suma y producto de
dos funciones reales medibles. Primero consideramos el método basado en el Teorema 27.
28. Suma y producto de dos funciones reales medibles. Sea X un conjunto, sea
F una σ-álgebra sobre X y sean f, g ∈ M(X, F, R). Demuestre que f + g ∈ M(X, F, R) y
f g ∈ M(X, F, R). Sugerencia: aplicar el Teorema 27.
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29. Sean f, g ∈ M(X, F, R). Usando el resultado del problema anterior demuestre que los
siguientes conjuntos son medibles:
x ∈ X : f (x) < g(x) ,
x ∈ X : f (x) > g(x) ,
x ∈ X : f (x) = g(x) .
Ahora estudiamos otro método que utiliza el criterio de la medibilidad de funciones
reales y la densidad de números racionales.
30. Sean f, g ∈ M(X, F, R). Demuestre que
[
x ∈ X : f (x) < g(x) =
{x ∈ X : f (x) < r} ∩ {x ∈ X : g(x) > r}
r∈Q
y deduzca de aquı́ que el conjunto x ∈ X : f (x) < g(x) es medible.
31. Sean f, g ∈ M(X, F, R). Demuestre que para cada α ∈ R
[
{x ∈ X : f (x) > r} ∩ {x ∈ X : g(x) > α − r}.
{x ∈ X : f (x) + g(x) > α} =
r∈Q
Deduzca de aquı́ que f + g ∈ M(X, F, R).
32. Sea f ∈ M(X, F, R). Demuestre que f 2 ∈ M(X, F, R).
33. Sea f ∈ M(X, F, R) y sea λ ∈ R. Demuestre que λf ∈ M(X, F, R).
34. Sean f, g ∈ M(X, F, R). Verifique las identidades de polarización
fg =
1
(f + g)2 − (f − g)2 ,
4
fg =
1
(f + g)2 − f 2 − g 2 .
2
Usando cualesquiera de estas dos identidades y los resultados de ejercicios anteriores
muestre que f g ∈ M(X, F, R).
35. Suma y producto de dos funciones complejas medibles. Sea X un conjunto,
sea F una σ-álgebra sobre X y sean f, g ∈ M(X, F, C). Demuestre que f +g ∈ M(X, F, C)
y f g ∈ M(X, F, C).
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Funciones simples
36. Lema. Para todo n ∈ {1, 2, 3, . . .} definimos la función ϕn : [0, +∞] → [0, +∞) de la
siguiente manera:
( n
b2 tc
, 0 ≤ t < n;
2n
ϕn (t) :=
n,
t ≥ n.
Demuestre que:
1. La función ϕn es simple y medible.
2. Para todo t ∈ [0, +∞] y todo n ∈ {1, 2, 3, . . .}, ϕn (t) ≤ ϕn+1 (t).
3. Para todo t ∈ [0, +∞],
lim ϕn (t) = t.
n→∞
37. Teorema. Sea (X, F, µ) un espacio de medida. Demuestre que para toda función Fmedible positiva f : X → [0, +∞] existe una sucesión de funciones gn simples F-medibles
positivas tal que en todo punto x ∈ X la sucesión (gn (x))∞
n=1 es creciente y gn (x) → f (x).
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Varios modos de convergencia
Sea (X, F, µ) un espacio de medida. Dada una sucesión (fn )n∈N de funciones F-medibles
X → C y una función F-medible g : X → C usamos las siguientes notaciones:
A(ε, n) = x ∈ X : |fn (x) − g(x)| ≥ ε ,
B(ε, k) =
∞
[
A(ε, n),
n=k
C(ε) =
∞
\
B(ε, k),
D=
[
C(ε).
ε>0
k=1
38. Monotonı́a de las familias A, B, C, D. Para cada una de las siguientes familias o
sucesiones estudie si es creciente o decreciente o en general no tiene ninguna de estas dos
propiedades. En el último caso hay que dar un contraejemplo.
1. Sea ε > 0 fijo. Estudie la montonı́a de la sucesión A(ε, n) n∈N .
2. Sea ε > 0 fijo. Estudie la monotonı́a de la sucesión B(ε, k) k∈N .
3. Sea n ∈ N fijo. Estudie la monotonı́a de la familia A(ε, n) ε>0 .
4. Sea k ∈ N fijo. Estudie la monotonı́a de la familia B(ε, k) ε>0 .
5. Estudie la monotonı́a de la familia C(ε) ε>0 .
39. Descripción de los puntos de no convergencia. Demuestre que para todo x ∈ X,
fn (x) 6→ g(x)
⇐⇒
x ∈ D.
40. Criterio de convergencia puntual. Usando el resultado de 39 muestre que las
siguientes condiciones son equivalentes:
µ
(a) fn −→ g.
(b) D = ∅.
(c) ∀ε > 0 C(ε) = ∅.
41. Criterio de convergencia en casi todas partes. Usando el resultado de 39 muestre
que las siguientes condiciones son equivalentes:
µ-c.t.p.
(a) fn −−−−→ g.
(b) µ(D) = 0.
(c) ∀ε > 0 µ(C(ε)) = 0.
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X
42. Criterio de convergencia uniforme. Describa la condición fn =⇒ g en términos
de los conjuntos B(ε, k).
43. Criterio de convergencia uniforme en el complemento de un conjunto. Sea
X\E
E ∈ F. Describa la condición fn ===⇒ g en términos de los conjuntos B(ε, k).
44. Criterio de convergencia casi uniforme. Demuestre que las siguientes condiciones
son equivalentes:
(a) fn converge casi uniformemente a g con respecto a la medida µ.
(b) Para todo ε > 0 y todo δ > 0, existe un k ∈ N tal que µ B(ε, k) < δ.
(c) Para todo ε > 0, lim µ B(ε, k) = 0.
k→∞
Observación: las implicaciones (a)⇒(b)⇒(c)⇒(b) se demuestran de manera natural. La
demostración de la implicación (b)⇒(a) es no trivial y utiliza la “contrucción diagonal de
Egóroff”.
Ejemplos de análisis de varios tipos de convergencia
Se propone el siguiente plan para analizar varios tipos de convergencia:
a) Investigar la convergencia puntual, esto es, para todo punto x ∈ X investigar la
convergencia de la sucesión numérica (fn (x))n∈N .
b) Determinar si la sucesión (fn )n∈N converge puntualmente o casi en todas partes a
una función g.
c) Para todo n ∈ N calcular sup |fn (x) − g(x)|.
x∈X
d) Usando el resultado del inciso c) determinar si la convergencia es uniforme.
e) Para todos ε ∈ (0, ε0 ) y n ∈ N calcular A(ε, n). Aquı́ ε0 puede ser cualquier número
positivo, por ejemplo en algunos ejemplos es cómodo elegir ε0 = 1 o sea suponer
que ε ∈ (0, 1).
f) Determinar si fn converge a g en la medida µ. Usar el resultado del inciso e).
g) Para todo ε ∈ (0, ε0 ) y todo k ∈ N calcular B(ε, k) usando el resultado del inciso e).
h) Usando el resultado del inciso g) determinar si la convergencia es uniforme y comprobar el resultado del inciso d).
i) Para todo ε ∈ (0, ε0 ) calcular C(ε).
j) Calcular D. Comprobar el resultado del inciso b).
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k) Usando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme llamada también la convergencia de Egóroff.
l) En el caso de la respuesta positiva en k), para un η > 0 arbitrario construir un
X\E
conjunto E tal que µ(E) < η y fn ===⇒ g.
Analice varios tipos de convergencia en los siguientes ejemplos:
45. X = R, µ es la medida de Lebesgue,
2 x2
fn (x) = e−n
.
46. X = R, µ es la medida de Lebesgue,
fn (x) =
1
.
1 + n 2 x2
47. X = R, µ es la medida de Lebesgue,
(x ∈ R, n ∈ N).
fn (x) = 1[n,n+1)
48. X = [0, 1), µ es la medida de Lebesgue,
fn (x) = xn
(x ∈ [0, 1), n ∈ N).
49. X = R, µ es la medida de Lebesgue,
fn (x) =
1
1 + (x − n)2
(x ∈ R, n ∈ N).
50. X = (0, 1], µ es la medida de Lebesgue,
fn (x) = n · 1(0,1/n]
(
n, x ∈ (0, 1/n],
=
0, x ∈ (1/n, 1].
51. X = (0, +∞), µ es la medida de Lebesgue,
fn (x) = e−nx
(x > 0, n ∈ N).
52. X = [0, 1], µ es la medida de Lebesgue,
fn (x) = 4n xn (1 − x)n
(x ∈ [0, 1], n ∈ N).
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Comparación de varios modos de convergencia
Para demostrar los siguientes resultados se recomienda aplicar los criterios 41 y 44.
53. Demuestre que la convergencia casi uniforme implica la convergencia casi en todas
partes.
54. Demuestre que la convergencia casi uniforme implica la convergencia en medida.
55. Teorema de Egóroff. Demuestre que en el caso de un espacio de medida finita la
convergencia casi en todas partes implica la convergencia casi uniforme.
56. Sea (X, F, µ) un espacio de medida, sea (fn )n∈N una sucesión de funciones F-medibles
X → C que converge en la medida µ a una función F-medible g : X → C. Demuestre que
existe una subsucesión (fnp )∞
p=1 que converge a g casi uniformemente con respecto a la
medida µ.
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