Ejercicios de Algebra I # 1.- Determinar cuales de las siguientes

Ejercicios de Algebra I
# 1.- Determinar cuales de las siguientes afirmaciones es verdadera para todos los conjuntos A, B, C, y D. Si la
doble implicación falla, determinar cual de las implicaciones se cumple y cual no se cumple. I si una igualdad no se
cumple determinar las inclusiones posibles.
a) C ⊆ B y C ⊆ A ⇔ C ⊂ (A ∪ B).
b) C ⊆ B ó C ⊆ A ⇔ C ⊂ (A ∪ B).
c) C ⊆ B y C ⊆ A ⇔ C ⊂ (A ∩ B).
(d) C ⊆ B ó C ⊆ A ⇔ C ⊂ (A ∩ B).
(e) A − (A − B) = B.
(f) A − (B − A) = A − B
(g) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C)
(h) A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − (A ∪ C)
(i) (A ∩ B) ∪ (A − B) = A
(j) Si A ⊂ C y B ⊂ D ⇒ A × B ⊂ C × D.
(k) El recı́proco de (j).
(l) El recı́proco de (j), asumiendo A y B no vacı́os.
(m) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D)
(n) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)
(o) A × (B − C) = (A × B) − (A × C)
(p) (A − B) × (C − D) = (A × C − B × C) − A × D
(q) (A × B) − (C × D) = (A − C) × (B − D)
# 2.- Escribir el contra recı́proco y el recı́proco de la siguiente afirmación: ” Si x < 0, entonces x2 − x > 0” y
determinar cuál de las tres afirmaciones es verdadera.
# 3.- Sen A y B conjuntos de números reales. Escribir la negación de las siguientes afirmaciones:
(a) Para todo a ∈ A, se cumple que a2 ∈ B.
(b) Para al menos un a ∈ A, se cumple que a2 ∈ B.
(c) Para todo a ∈ A, se cumple que a2 ∈
/ B.
(d) Para al menos un a ∈
/ A, se cumple que a2 ∈ B.
# 4.- Sea I un conjunto no vacı́o de subindices . determinar si es verdadera o falsa cada una de las siguientes
afirmaciones y sus recı́procos.
S
(a) x ∈ i∈I Ai ⇒ x ∈ Ai para algún i ∈ I.
S
(b) x ∈ i∈I Ai ⇒ x ∈ Ai para todo i ∈ I.
T
(c) x ∈ i∈I Ai ⇒ x ∈ Ai para algún i ∈ I.
T
(d) x ∈ i∈I Ai ⇒ x ∈ Ai para todo i ∈ I
# 5.- Escribir el contra recı́proco de las afirmaciones del ejercicio anterior.
Ejercicios de Funciones
#1.- Sea f : A → B. Sea A0 ⊂ A y B0 ⊂ B.
(a) Demostrar que f −1 (f (A0 )) ⊃ A0 y la igualdad se cumple si f es inyectiva.
(b) Demostrar que f (f −1 (B0 )) ⊂ B0 y la igualdad se cumple si f es sobreyectiva.
# 2.- Sea f : A → B y sea Ai ⊆ A y Bi ⊆ B para i = 1 e i = 0. Demostrar que:
(a) B0 ⊆ B1 ⇒ f −1 (B0 ) ⊆ f −1 (B1 ).
(b) f −1 (B0 ∪ B1 ) = f −1 (B0 ) ∪ f −1 (B1 ).
(c) f −1 (B0 ∩ B1 ) = f −1 (B0 ) ∩ f −1 (B1 ).
(d) f −1 (B0 − B1 )f −1 (B0 ) − f (−1(B1 ).
(e) A0 ⊆ A1 ⇒ f (A0 ) ⊆ f (A1 ).
(f) f (A0 ∪ A1 ) = f (A0 ) ∪ f (A1 ).
(g) f (A0 ∩ A1 ) ⊆ f (A0 ) ∩ f (A1 ); dar un ejemplo donde no se cumpla la igualdad.
(h) f (A0 − A1 ) ⊇ f (A0 ) − f (A1 ); dar un ejemplo donde no se cumpla la igualdad.
#3.- Demostrar que (b), (c), (f) y (g) del ejercicio anterior se cumplen para uniones e intersecciones arbitrarias.
#4.- Sea f : A → B y g : B → C.
(a) Si C0 ⊆ C, demostrar que (g ◦ f )−1 = f −1 (g −1 (C0 )).
(b) Si f y g son inyectivas, demostrar que g ◦ f es inyectiva.
(c) Si g ◦ f es inyectiva, ¿que se puede decir sobre la inyectividad de f y g?
(d) Si f y g son sobreyectivas, demostrar que g ◦ f es sobreyectiva.
(e) Si g ◦ f es sobreyectiva, ¿que se puede decir de la sobreyectividad de f y g?
(f) Resumir las repuestas anteriores en un teorema.
#5.- En general, la función identidad para un conjunto C se denota por iC . Esto es, se define iC : C → C como
iC (x) = x para todo x ∈ C. Dada f : A → B, se dice que la función g : B → A es inversa izquierda para f si
g ◦ f = iA ; y se dice que h : B → A es inversa derecha de f si f ◦ h = iB .
(a) Demostrar que si f tiene inversa izquierda entonces f es inyectiva; y si f tiene inversa derecha es sobreyectiva.
(b) Dar un ejemplo de una función con inversa izquierda pero sin inversa derecha.
(c) Dar un ejemplo de una función con inversa derecha, pero sin inversa izquierda.
(d) ¿ Puede una función tener mas de una inversa izquierda?. ¿Puede una función tener mas de una inversa derecha?
#6.- Sea f : R → R la función definida por f (x) = x3 − x. Restringir el dominio y el rango apropiadamente a fin
de obtener de f una función biyectiva g. Dibujar las gráficas de g y g −1 .