Práctico 1 - Centro de Matematica

Universidad de la República, Facultad de Ciencias, Centro de Matemática.
Introducción a la Topologı́a – Curso 2006.
Práctico 1
Ejercicio 1 Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas para cualquier
elección de conjuntos A, B, C y D. Cuando una implicación doble falla, determinar si en alguna
dirección una de ellas se verifica. Si una igualdad es falsa, determinar si la afirmación es cierta
al se remplaza el sı́mbolo de igualdad por uno de los sı́mbolos ⊂ o ⊃.
(a) A ⊂ B y A ⊂ C sii A ⊂ (B ∪ C).
(b) A ⊂ B o A ⊂ C sii A ⊂ (B ∪ C).
(c) A ⊂ B y A ⊂ C sii A ⊂ (B ∩ C).
(d) A ⊂ B o A ⊂ C sii A ⊂ (B ∩ C).
(e) A − (A − B) = B.
(f) A − (B − A) = A − B.
(g) A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C).
(h) A ∪ (B − C) = (A − B) ∪ (A − C).
(i) (A ∩ B) ∪ (A − B) = A.
(j) A ⊂ C y B ⊂ D entonces A × B ⊂ C × D.
(k) el recı́proco de (j).
(l) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D).
(m) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
(n) A × (B − C) = A × B − A × C
(o) (A − B) × (C − D) = (A × C − B × C) − A × D. (p) (A × B) − (C × D) = (A − C) × (B − D).
(q) El recı́proco de (j) asumiendo que A y B son no vacı́os.
Ejercicio 2 Sea f : A → B. Sea A0 ⊂ A y B0 ⊂ B.
(a) Mostrar que A0 ⊂ f −1 (f (A0 )) y que la igualdad se da si f es inyectiva.
(b) Mostar que f (f −1 (B0 ) ⊂ B0 y que la igualdad se da si f es sobreyectiva.
Ejercicio 3 Sea f : A → B y sean Ai ⊂ A y Bi ⊂ B para i = 0, 1. Mostrar que f −1 preserva
inclusiones, uniones, intersecciones y diferencias:
(a) Si B0 ⊂ B1 entonces f −1 (B0 ) ⊂ f −1 (B1 ).
(b) f −1 (B0 ∪ B1 ) = f −1 (B0 ) ∪ f −1 (B1 ).
(c) f −1 (B0 ∩ B1 ) = f −1 (B0 ) ∩ f −1 (B1 ).
(d) f −1 (B0 − B1 ) = f −1 (B0 ) − f −1 (B1 ).
Mostrar que f preserva sólo inclusiones y uniones:
(a) Si A0 ⊂ A1 entonces f (A0 ) ⊂ f (A1 ).
(b) f (A0 ∪ A1 ) = f (A0 ) ∪ f (A1 ).
(c) f (A0 ∩ A1 ) ⊂ f (A0 ) ∩ f (A1 ); mostrar que se da la igualdad si f es inyectiva.
(d) f (A0 − A1 ) ⊃ f (A0 ) − f (A1 ); mostrar que se da la igualdad si f es inyectiva.
Ejercicio 4 Denotamos la función identidad en un conjunto C por iC . Es decir, iC : C → C
esta dada por iC (x) = x para todo x ∈ C. Dada f : A → B, diremos que una función g : B → A
es una inversa a izquierda de f si g ◦ f = iA ; y diremos que una función h : B → A es una
inversa a derecha de f si f ◦ h = iB .
(a) Mostrar que si f tiene inversa a izquierda, f es inyectiva; y que si f tiene una inversa a
derecha, f es sobreyectiva.
(b) Dar un ejemplo de una función que tenga una inversa a izquierda pero no a derecha, y dar
un ejemplo de una función que tenga inversa a derecha pero no a izquierda.
(c) ¿Puede una función tener más de una inversa a izquierda? ¿y a derecha?
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(d) Mostrar que si f tiene inversa a izquierda g e inversa a derecha h entonces f es biyectiva
y g = h = f −1 .
Ejercicio 5 Sea f : A → B una función sobreyectiva. Definimos una relación en A poniendo:
a0 ∼ a1 si
f (a0 ) = f (a1 )
(a) Mostrar que es una relación de equivalencia.
(b) Sea A∗ el conjunto cociente. Mostrar que hay una correspondencia biyectiva entre A∗ y B.
Ejercicio 6 Sean S y S 0 los siguientes subconjuntos del plano:
S = {(x, y) : y = x + 1, 0 < x < 2}
S 0 = {(x, y) : y − x es un entero}
(a) Mostrar que S 0 es una relación de equivalencia en R y que S 0 ⊃ S. Describir las clases de
equivalencia de S 0 .
(b) Mostrar que dada una colección de clases de equivalencia en un conjunto A, su intersección
es también una clase de equivalencia en A.
(c) Describir la relación de euivalencia T en R que es la intersección de todas las clases de
equivalencia en R que contienen a S. Describir las clases de equivalencia.
Ejercicio 7 Mostrar que un elemento en un conjunto ordenado tiene a lo sumo un sucesor
inmediato y a lo sumo un predecesor inmediato. Mostrar que un subconjunto de un conjunto
ordenado tiene a lo sumo un menor elemento y a lo sumo un mayor elemento.
Ejercicio 8 Sea Z+ el conjunto de los enteros positivos. Considerar la siguiente ralción de orden
en Z+ × Z+ :
(i) El orden lexicográfico.
(ii) (x0 , y0 ) < (x1 , y1 ) si x0 − y0 < x1 − y1 ; o x0 − y0 = x1 − y1 e y0 < y1 .
(iii) (x0 , y0 ) < (x1 , y1 ) si x0 + y0 < x1 + y1 ; o x0 + y0 = x1 + y1 e y0 < y1 .
En estas relaciones de orden, ¿qué elementos tienen sucesor inmediato? ¿Tiene el conjunto un
menor elemento? Mostrar que los tres tipos de ordenes son diferentes.
Ejercicio 9 Probar el siguiente teorema:
Si un conjunto ordenado A posee la propiedad de la cota superior mı́nima, entonces
posee la propiedad de la cota inferior máxima.
Ejercicio 10 Mostrar que Q es infinito numerable.
Ejercicio 11
(a) Un número real x se dice algebraico (sobre el cuerpo de los racionales) si satisface alguna
ecuación polinómica de grado positivo
xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0
con coeficientes racionales ai . Asumiendo que toda ecuación polinómica tiene a lo sumo
finitas raı́ces, mostrar que los números algebraicos forman un conjunto infinito numerable.
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(b) Un número real se dice trascendente si no es algebraico. Asumiendo que los reales son no
numerables, mostrar que el conjunto de los números trascendentes es un conjunto infinito no
numerable. (Es sorprendente que sinembargo sólo dos números trascendentes son familiares
para nosotros, a saber e y π. La prueba de que éstos son trascendentes no es para nada
trivial.)
Ejercicio 12 Determinar, para cada uno de los siguientes conjuntos, si es o no un conjunto
numerable. Justificar su respuesta.
(a) El conjunto A de todas las funciones f : {0, 1} → Z+ .
(b) El conjunto Bn de todas las funciones f : {0, 1, . . . , n} → Z+ .
S
(c) El conjunto C = n∈Z+ Bn .
(d) El conjunto D de todas las funciones f : Z+ → Z+ .
(e) El conjunto E de todas las funciones f : Z+ → {0, 1}.
(f) El conjunto F de todas las funciones f : Z+ → {0, 1} que son “eventualmente cero”.
(Decimos que f es eventualmente cero si existe un entero positivo N tal que f (n) =
0 ∀n ≥ N .)
(g) El conjunto G de todas las funciones f : Z+ → Z+ que son eventualmente 1.
(h) El conjunto H de todas las funciones f : Z+ → Z+ que son eventualmente constantes.
(i) El conjunto I do todos los subconjuntos de dos elementos de Z+ .
(j) El conjunto J de todos los subconjuntos finitos de Z+ .
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