Derivada de la función inversa

Derivada de la función inversa
a) Funciones de una variable. El modo práctico de obtener la derivada de la función f −1 ,
inversa de f , fue el siguiente:
1 df −1 (x)
−1
0
0
0
= 0 y = f (x) =⇒ x = f (y) =⇒ 1 = f (y) y =⇒ y =
dx
f (y) y=f −1 (x)
Es decir, “la derivada de la función f −1 , inversa de f , es el inverso de la derivada de f ”.
b) Funciones vectoriales. Procedemos del modo modo. Sea f~ : Rn → Rn . Consideramos
su función inversa ~y = f~−1 (~x), de donde ~x = f~(~y ).
~ x) (Φ
~ es la identidad).
Sustituyendo ~y en función de ~x, ~x = f~ f~−1 (~x) = Φ(~
~
df~ df~−1
Derivando (regla de la cadena): dΦ =
,
d~x
d~y d~x

∂x1 · · ·
∂x1
~
dΦ 
··· ···
=
d~x  ∂x
n ···
∂x1
" #−1
df~
df~−1
=
por lo que resulta que
d~x
d~y
~−1
~
y =f
~
donde dΦ es la matriz unidad
d~x

∂x1
∂xn 
··· 
 = In×n
∂xn
∂xn
(~
x)
Es decir, “el jacobiano de la función inversa de f~ es la matriz inversa del jacobiano de f~ ”.
c) Ejemplo. Relación entre polares y cartesianas
p

 ρ = f1 (x, y) = x2 + y 2
ρ
Sea f~ : R2 → R2 , dada por
= f~(x, y), siendo
θ

y
θ = f2 (x, y) = arc tg x

 x = ρ cos θ
x
Sea su inversa f~−1 : R2 → R2 , dada por
= f~−1 (ρ, θ), con
y

y = ρ sen θ


∂x ∂x
−1
~
cos θ −ρ sen θ
df
∂ρ
∂θ
−1


El jacobiano de f será
= ∂y ∂y
=
.
d(ρ, θ)
sen θ
ρ cos θ
∂ρ ∂θ

 

∂ρ ∂ρ
p x
p y
~
2
2
2
2
df
x + y ,
∂y   x + y
Por otro lado, el jacobiano de f será
=  ∂x
−y
x
∂θ ∂θ =
d(x, y)
∂x ∂y
x2 + y 2
x2 + y 2
!
cos θ sen θ
que, en función de las variables (ρ, θ), se convierte en − sen θ cos θ .
ρ
ρ
df~−1
df~ Es inmediato comprobar que el producto de
y
es la matriz unidad.
d(ρ, θ)
d(x, y) (x, y)=f~−1 (ρ,θ)