Geometrıa Analıtica II Tarea III Encuentra la ecuación, una

Geometrı́a Analı́tica II
Tarea III
Encuentra la ecuación, una parametrización y haz un dibujo de las superfices que se indican. Justifica
tu respuesta.
1. El plano que pasa por los puntos P1 = (1, 1, 1), P2 = (3, −2, 7) y P3 = (−2, −5, −1).
2. El plano ortogonal al vector (−6, 2, 3) y que pasa por el punto (3, 2, 1).
3. La esfera de radio 8 con centro en (−1, 2, −1).
4. La superficie cilı́ndrica cuya directriz es la curva y = 4(x − 1)2 , z = 0 y cuyas generatrices son
paralelas a la recta z = −x, y = 0.
5. La superficie cónica cuya directriz es la parábola y = −x2 , z = 4 y cuyo vértice es (0, 0, 0)
6. La superficie cónica cuya directriz es la circunferencia x2 + y 2 = 9, z = 3 y cuyo vértice es (0, 0, 0)
7. La superficie de revolución que se obtiene al rotar la hipérbola
eje Z.
z2
9
−
x2
4
= 1, y = 0 alrededor del
8. Demuestra que la ecuación:
a2 x2 − b2 y 2 = 0 a 6= 0, b 6= 0
representa dos planos que se intersectan.
9. ¿La ecuación
a2 x2 + b2 y 2 + c2 z 2 = 0
representa alguna superficie?
10. Encuentra una parametrización y haz un dibujo de la superficie asociada a cada una de las
siguientes ecuaciones:
a)
b)
x2
9
2
x
4
2
c)
x
9
d)
x2
4
2
+
+
y2
4
2
y
9
2
+z =0
−
z2
16
= −1
−
y
16
+z =0
−
y2
9
2
−z =0
e) x + y − z 2 = 0
11. Aplica el cambio de coordenadas Q (X = QX̃) y dibuja el conjunto en el espacigo en los siguientes
casos


4
0 −3
5
5
a) 39x2 + 50y 2 + 11z 2 + 96xz − 3x + 100y + 40z + 25 = 0 con Q =  1 0 0 
3
0 45
5
b)
5 2
2x +

1
√


2
√1
6
−1
√
3
29 2
6 y
0
−2
√
6
−1
√
3
11 2
3 z

−1
√
2
√1 
6 
−1
√
3
+
+
√1 xy
3
−
√2 xz
6
+
1
14
√ yz
3 2
−
√2 x
2
−
10
√
y
6
+
10
√
y
3
− 7 = 0 con Q =
12. Encuentra y aplica el cambio de coordenadas para identificar la superficie dada por la ecuación
2xy + 2xz + 2y − 5 = 0
5x2 + 11y 2 + 2z 2 + 16xy − 4yz + 20yx = 36
13. Encuentra cómo debes identificar los lados de un rectángulo para obtener un toro.
14. Encuentra cómo debes identificar los lados de un decágono para obtener un toro de dos asas.
15. ¿Qué polı́gono debes usar y cómo debes identificar sus lados para obtener un toro de tres asas?
?
los valores para los cuales las matrices son rotaciones (A · At = Id y det A = 1).

∗ 0
∗ ∗  si bc 6= 0
∗ ∗

√
6
1
∗
√4
 4

6
b)  −3
∗ 
4
4
−2
∗
∗
4
16. Encuentra

a
a)  b
c

17. Encuentra las rotaciones Q que dejan fijo el vector (1, 1, −1) y Q = Qt .
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