Test2

Febrero 13 de 2003
Exámen 1 (Matemáticas)
El Teorema Fundamental
Nombre:
Código:
1. Muestre que y1 (x) ≡ 0 ypy2 (x) = x3 , x ∈ R son soluciones distintas de la
ecuación diferencial y 0 = 3 3 y 2 que satisfacen la misma condición inicial y(0) =
0. Explique porqué no se contradice el Teorema Fundamental.
2. Muestre que existen infinitas soluciones de t dy
= y(t), y(0) = 0. Explique por
dt
que no se contradice el Teorema Fundamental.
3. Halle una ecuación diferencial de primer orden de la forma dx
= f (x) que sea
dt
satisfecha por la función x(t) = sen(t). Usted tiene que exhibir la función f e
indicar su dominio de definición.
4. ¿Que condiciones debe satisfacer los coeficientes a(t) y b(t) para que la ecuación lineal dx
+ a(t) x(t) = b(t) se pueda resolver por separación de variables?
dt
Justifique su respuesta.
5. Pruebe que cualquier función y = y(x) definida implı́citamente por
−1 1
3+y
+ ln
= −x + 1
3y 9
y
satisface la ecuación diferencial
1 dy
y dx
= −3 y − y 2 .
6. Demuetre que si y(x) es la solución del problema de valor inicial
dy
= f (x) x,
dx
y(x0 ) = y0 ,
entonces una solución (si existe) de la ecuación y(x) = 0 esta dada por
sZ
0
2
x=
dy + x20
x0 f (x)
1