1 Flujo de Bingham

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Flujo de Bingham
∂u
el fluido Bingham se comporta según: τ = τ0 + µ
∂r
en forma general tenemos la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento:
∂u
∇p
+ ∇u · u = −
+ g + ν∇2 u
∂t
ρ
en coordenadas cilı́ndricas, y para las condiciones de flujo laminar estacionario de Bingham, la
ecuación se reduce a una ecuación en z:
2
∂ uz
1 ∂uz
∂p 1
−g =ν
+
∂z ρ
∂r2
r r
que equivale a:
∂uz
∂p 1
1 ∂
r
−g =ν
∂z ρ
r ∂r
r
la solución general del sistema viene dada por
u(r) =
si A =
Ar2
+ C1 ln(r) + C2
4µ
(1)
∂p
− ρg con condiciones de borde:
∂z
uz |r=R = 0
∂u
|r=r∗ = 0
∂r
donde r∗ es la distancia a la cual el fluido se encuentra sometido a una tensión de corte igual
a la tensión de corte umbral τ0
Al introducir una nueva incógnita r ∗ necesitamos de una ecuación adicional para resolver el
sistema. Para ello, planteamos la ecuación integral de conservación de cantidad de movimiento a
un cilindro de radio r ∗ y altura dz, luego:
−∆pπr∗ 2 − ρgπr∗ 2 ∆z = ∆z2πr∗ τ0
dp
−
+ ρg r∗ = 2τ0
dz
2τ0
r∗ = dp
dz + ρg
En función de la constante A definida:
2τ0
A + 2ρg = ∗
r
τ
0
A = 2 ∗ − ρg
r
1
Volvemos a escribir (1) en función de r ∗ :
u(r) =
2
τ0
r∗
− ρg 2
r + C1 ln(r) + C2
4µ
Para las condiciones de borde, resulta
C1 = −
τ0 r ∗
ρgr∗ 2
+
µ
µ
Luego,
2
τ0
r∗
− ρg 2
τ0 r ∗
ρgr∗ 2
R +−
+
ln(R) + C2 = 0
4µ
µ
µ
La solución para el flujo de Bingham resulta:
u(r) =
τ0
r∗
∗
− ρg 2
ρgr∗ 2
τ0 r
2
ln(R/r)
(r − R ) +
−
2µ
µ
µ
Ejemplo aplicacion
R = 0.10
radio del conducto
τ0 = 500
viscosidad umbral del fluido de bingham
µ = 10
viscosidad dinámica
ρg = −9.8 · 1000;
densidad * gravedad
∂p
= −20000 gradiente de presión por metro
∂z
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Figure 1: Perfil de Velocidades en el Conducto Uz en m/s
2
(2)