10. Conservacion de la energia

Conservación de la energı́a
R. Castilla y P.J. Gamez-Montero
Curso 2011-2012
Índice
Índice
1. Ecuación integral de la conservación de la energı́a
1.1. Análisis del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2. Ecuación diferencial de la conservación de la energı́a
3
1.
Ecuación integral de la conservación de la energı́a
Ecuación integral de la conservación de la energı́a
Primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado:
DE
= Q̇ − Ẇ
Dt
Q̇
Ẇ
: calor transferido al sistema
: trabajo realizado por el sistema
Aplicando el teorema del transporte de Reynolds al sistema:
ˆ
˛
DE
∂ρe
~ = Q̇ − Ẇ
=
dV +
ρe~v · dS
Dt
V C ∂t
SC
donde
1 2
+
u
e=
v
+
gz
2
| {z }
|{z}
| {z }
E. cinética
E. potencial
E. interna
es la energı́a por unidad de masa.
1.1.
Análisis del trabajo
Análisis del trabajo
realizado por el tensor de esfuerzos en las superficies de control en las que existe un flujo de fluido
trabajo realizado por los esfuerzos normales:
ˆ
ˆ
~≈
σnn~v · dS
Ẇn = −
SC
~
p~v · dS
SC
trabajo realizado por los esfuerzos tangenciales:
ˆ
ˆ
0
~
~
Ẇt = −
~v · ~τ · dS = −
~v · ~τ 0 dS
SC
SC
| {z }
~
τ 0 dS
~ y, dado que ~τ 0 está en dS, ~v ⊥ ~τ 0 , y ~v · ~τ 0 = 0 (flujos
En general, se intenta escoger el V C de forma que ~v k dS,
unidimensionales).
1
realizado por otros elementos externos, como, p.e., trabajo eléctrico, o trabajo mecánico de un eje (agitador,
. . . ). Lo expresamos como Ẇe .
~ en las entradas y salidas, tendremos
Para un Volumen de Control tal que ~v ⊥ dS
˛
˛
ˆ
∂ρe
~
~=
dV +
Q̇ − Ẇe −
ρe~v · dS
p~v · dS
SC
SC
V C ∂t
ˆ
˛
∂ρe
~
⇒ Q̇ − Ẇe =
dV +
ρ(e + pv)~v · dS,
V C ∂t
SC
donde v = ρ1 es el volumen especı́fico.
Dado que u + pv = h, la conservación de la energı́a queda
ˆ
Q̇ − Ẇe =
VC
∂ρe
dV +
∂t
˛
1 2
~
ρ h + gz + v ~v · dS
2
SC
Actividad 1:
¿Porqué no hemos incluido el trabajo realizado por la gravedad en Ẇ ?
Simplificaciones
Flujo permanente :
∂ρe
=0
∂t
en todo el Volumen de Control
Propiedades constantes en las superficies de entrada (1) y de salida (2) (con flujo unidimensional):
˛
1
~=
ρ h + gz + v 2 ~v · dS
2
SC
1 2
1 2
ρ2 h2 + gz2 + v2 v2 S2 − ρ1 h1 + gz1 + v1 v1 S1
2
2
1 2
1 2
Q̇ − Ẇe = ρ2 h2 + gz2 + v2 v2 S2 − ρ1 h1 + gz1 + v1 v1 S1
2
2
1.2.
Ecuación de Bernoulli
Ecuación de Bernoulli
Flujo permanente,incompresible y no viscoso. Q̇ = Ẇ = 0
1
1
⇒ ρ2 h2 + gz2 + v22 v2 S2 = ρ1 h1 + gz1 + v12 v1 S1
2
2
Dado que ρ2 v2 S2 = ρ1 v1 S1 = ṁ, tenemos
1
1
h2 + gz2 + v22 = h1 + gz1 + v12
2
2
Si suponemos también que no hay cambios en la energı́a interna,
p2
1
p1
1
+ gz2 + v22 =
+ gz1 + v12 ,
ρ
2
ρ
2
es decir,
p
1
+ gz + v 2 = cte sobre una lı́nea de corriente
ρ
2
Este es la conocida como Ecuación de Bernoulli.
2
Actividad 2:
Una pareja que vive en una casa en la montaña decide aprovechar el arroyo de cerca de su casa para generar
la energia necesaria para su vivienda. Compran una turbina en eBay y estiman que poniendo una presa podrı́an
conseguir una altura en la entrada de la turbina de unos 4 metros. El caudal del arroyo es de unos 800 litros por
segundo. Si en la salida de la turbina la velocidad del agua será de 3,6 m/s, estimad la potencia que podrı́an generar,
menospreciando pérdidas por rozamiento.
2.
Ecuación diferencial de la conservación de la energı́a
Ecuación diferencial de la conservación de la energı́a
~g : fuerzas másicas
Partiendo de la forma general de la conservación de la energia en un VC
˛
ˆ
˛
ˆ
∂ρe
~
~
~
dV +
ρe~v · dS
Q̇ +
~g · ~v ρ dV +
~v · ~τ · dS =
SC
VC
SC
V C ∂t
donde ~
~τ incluye la diagonal y e no incluye el término gz
(¿por qué?)
Q̇ puede ser debido o bien a un flujo de calor (~q) a través de la SC o bien a una producción de energı́ a en el
interior del V C (s, que tiene unidades de W/kg).
˛
ˆ
~+
Q˙= −
~q · dS
sρ dV
SC
VC
Usando el Teorema de Gauss sobre las tres SC, queda
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
~ ~~τ · ~v dV =
~ q dV +
∇
∇~
sρ dV +
~g · ~v ρ dV +
−
VC
VC
VC
VC
ˆ
ˆ
∂ρe
~ · (ρe~v ) dV
=
dV +
∇
V C ∂t
VC
Si lo reescribimos en forma de componentes, usando el convenio de doble ı́ndice, y en una sola integral, obtenemos
ˆ ∂τij vi
∂eρvi
∂ρe
∂qi
−
+ ρs + ρgi vi +
−
+
dV = 0
∂xi
∂xj
∂xi
∂t
VC
Dado que esto ha de ser cierto para todo V C, el integrando debe ser nulo,
−
∂τij vi
∂eρvi
∂ρe
∂qi
+ ρs + ρgi vi +
−
+
=0
∂xi
∂xj
∂xi
∂t
Para simplificar esta expresión expandimos en primer lugar todas las derivadas, usando e = u + 21 v 2 .
∂qi
∂vi
∂τij
+ ρs + ρgi vi + τij
+ vi
=
∂xi
∂xj
∂xj
2
∂
v
v2 ∂
∂vi
∂ρ
∂u
= ρvi
+
(ρvi ) + uρ
+ uvi
+ ρvi
+
∂xi 2
2 ∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
2
∂ v2
v
∂ρ
∂ρ
∂u
+
+ρ
+u
+ρ
∂t 2
2 ∂t
∂t
∂t
−
3
Reordenando términos, tenemos
∂τij
∂qi
∂vi
vi
+ ρgi +τij
−
+ ρs =
∂xj
∂xj
∂xi
{z
}
|
ρ
|
Dvi
Dt
{z
=ρ
2
}
Dv 2
Dt
ρ ∂v 2
∂v 2
v 2 ∂ρvi
∂ρ
∂u
∂u
=
+ vi
+
+
+ρ
+ vi
+
2 ∂t
∂xi
2 ∂xi
∂t
∂t
∂xi
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
=0
2
= Dv
Dt
Du
Dt
∂ρ
∂vi
∂ρ
+ vi
+uρ
+u
∂t
∂xi
∂xi
|
{z
}
Dρ
Dt
. . . y simplificando,
∂vi
Dρ
∂vi
∂qi
Du
τij
+u
+ρ
−
+ ρs = ρ
∂xj
∂xi
Dt
Dt
∂xi
{z
}
|
=0
τij
∂vi
∂qi
Du
−
+ ρs = ρ
∂xj
∂xi
Dt
Si ahora usamos la ley de Fourier
qi = −k
∂T
∂xi
0
y la descomposición τij = −pδij + τij
, como hicimos con la conservación de cantidad de movimiento,
−p
∂vi
δij +
∂xj
0 ∂vi
τij
∂xj
| {z }
+
∂
∂xi
k
∂T
∂xi
+ ρs = ρ
Du
Dt
función disipación Φ
Du
ρ
=ρ
Dt
∂u
∂u
+ vi
∂t
∂xi
∂vi
∂
= −p
+ Φ + ρs +
∂xi
∂xi
∂T
k
∂xi
Para un fluido newtoniano,
Φ=µ
X ∂vi
ij
∂vj
+
∂xj
∂xi
2
Bibliografı́a
Referencias
[1] Frank M. White. Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill, México, 1988.
[2] V. L. Streeter, E. B. Wylie, and K. W. Bedford. Mecánica de los Fluidos. McGraw-Hill, México, 2000.
[3] I. H. Shames. Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill, Colombia, 1995.
[4] Robert W. Fox and Alan T. McDonald. Introducción a la Mecánica de Fluidos. McGraw-Hill, México, 1995.
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