Corriente Eléctrica

Corriente Eléctrica
Alfonso Zozaya
Julio de 2003
Índice
Índice
1.
1
Densidad de corriente
2
1.1. Conservación de la carga o continuidad de la corriente, 3.—1.2.
relajación, 3.—1.3. Resistencia, 3.
Referencias
5
Índice alfabético
6
1
Tiempo de expansión o de
1.
Densidad de corriente
Dado un medio en cuyo interior ciertos portadores de carga pueden moverse libremente bajo
la acción de un campo eléctrico. Sea Nq el número de estos portadores de carga por unidad de
volumen, y sea v la velocidad promedio equivalente de los portadores de carga. Tomado en el
interior del medio un volumen diferencial ν rectangular, la cantidad de carga que atraviesa una
cualquiera de las superficies de este volumen por unidad de tiempo vale:
I=
dq
= Nq v · an ds [A/m]
dt
(1)
La cantidad Nq v tiene unidades de [A/m2 ] y se denomina vector densidad de corriente:
J = Nq v
(2)
De esta forma, la corriente eléctrica que atraviesa una superficie genérica S dentro del medio se
calcula mediante la integral:
Z
I=
J · ds
(3)
S
Por otro lado, el término Nq v admite la siguiente representación:

corriente de convección;
 ρu,
−ρe ue E = σE,
corriente de conducción en conductores;
Nq v =

(−ρe ue + ρh uh )E = σE, corriente de conducción en semiconductores.
(4)
donde ρ, ρe y ρh son las densidades volumétricas de portadores de carga libres, de electrones en
movimiento y de ((huecos)) en movimiento, respectivamente ([C/m3 ]); u es la velocidad promedio de
los portadores de carga libres, ue es la movilidad del electrón ([m2 /V s]), y uh la movilidad de los
huecos; y σ es un parámetro constitutivo macroscópico del medio llamado conductividad ([S/m]).
En el cuadro 1 se muestran algunos de estos valores para algunos materiales de uso frecuente en la
ingenierı́a electrónica.
material
Cobre
Aluminio
Plata
Germanio
Silicio
ue [m2 /V s]
3,2 × 10−3
1,4 × 10−4
5,2 × 10−3
0,38
0,12
uh [m2 /V s]
0,18
0,03
σ [S/m]
5,8 × 107
3,54 × 107
6,17 × 107
2,2
1,6 × 10−3
Cuadro 1: Movilidad y conductividad de algunos materiales.
La ecuación:
J = σE
se conoce como ley de Ohm puntual.
2
(5)
1.1.
Conservación de la carga o continuidad de la corriente
Si en lugar de tomar una superficie abierta genérica en el interior del medio, tomamos una
superficie S(V ) cerrada, el flujo de J a través de S(V ), igualará la rata de disminución de los
portadores de cargas en el volumen V encerrado por S(V ). Este principio, que se conoce como
principio de conservación de la carga, se escribe:
I
Z
d
J · ds = −
ρν dν
(6)
dt V
S(V )
La versión diferencial de la ecuación 6 se obtiene aplicando el Teorema de la divergencia a la integral
de la izquierda. En efecto:
Z
Z
Z
d
∂
∇ · J dν = −
ρν dν = −
ρν dν
(7)
dt V
V
V ∂t
y ya que las cantidades subintegrales han de ser iguales para cualquier volumen V , se obtiene:
∇·J =−
∂
ρν
∂t
(8)
La ecuación 8 se conoce como ecuación de continuidad de la corriente. Para el caso de corrientes
estacionarias, ∂ρν /∂t = 0, la ecuación 8 se convierte:
∇·J =0
la cual, para el circuito de la figura tal puede escribirse como:
X
In = 0
(9)
(10)
n
la cual se conoce como la ley de corrientes de Kirchhoff .
1.2.
Tiempo de expansión o de relajación
σ
σ
dρν
∇ · D = ρν = −
²
²
dt
− σ² t
ρν = ρ0 e
∇ · J = σ∇ · E =
1.3.
(11)
(12)
Resistencia
En la figura tal se muestra un trozo cilı́ndrico de un material con cierta conductividad homogénea. Tomando como referencia dicha figura y a partir de la ecuación puntual de Ohm (5),
podemos escribir para el volumen del material:
Z
Z
J dν =
σE dν
V
V
3
Asumiendo que E es uniforme y que se desarrolla paralelamente al eje del cilindro, definiendo el
diferencial de volumen como dν = d`ds, y tomando d` k E podemos escribir:
Z
Z
Jaj d`ds =
σEae d`ds
V
V
y como aj ≡ ae resulta
Z
Z
J d`ds =
V
σE d`ds
V
Tomando en cuenta que J es uniforme y que
R Jds = dI, siendo dI la corriente diferencial que
atraviesa el diferencial de superficie ds, será V J d`ds = IL, donde L es la longitud del cilindro e I
la corriente que circula por él. De manera análoga, tomando en cuenta
R que Ed` es la diferencia de
potencial ∆V entre los extremos del diferencial de camino d`, será V σE d`ds = σ∆V S, donde S
es el área transversal del cilindro y ∆V es la diferencia de potencial entre los extremos del mismo.
De esta forma obtenemos:
IL = σ∆V S
Y de aquı́:
L
∆V
=
I
σS
L
La cantidad σS
, que depende solo de la geometrı́a y de las propiedades intrı́nsecas del material,
se denomina resistencia R del sistema estudiado (figura tal). Para un sistema genérico (cierto
material homogéneo con cierta conductividad σ y cierta forma geométrica) se define la resistencia:
R+
− − E · d`
∆V
R=
= H
(13)
I
S σE · ds
4
.
Referencias
5
Índice alfabético
conductividad, 2
corriente eléctrica, 2
densidad de corriente, 2
ecuación de continuidad, 3
Kirchhoff, ley de corrientes, 3
ley de Ohm, 2
movilidad del electrón, 2
principio de conservación de la carga, 3
Resistencia, 4
6