y = sen(x - U

UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MATEMÁTICA
MA2601 - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Guı́a de Ejercicios
1. Verificar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:
sen(x)
; xy 0 + y = cos(x).
(1) y =
x
(2) y = ex − e−x − 12 sen(x); y 00 − y = sen(x).
p
(3) y = arcsen(xy);
y 0 ( 1 − x2 y 2 − x) = y.
Z x
2
2
2
et dt + c1 e−x ; y 0 + 2xy = 1.
(4) y = e−x
Z x 0
(5) x = y
sen(t2 )dt; y = xy 0 + y 2 sen(x2 ).
0 )
x = tet
(6)
; (1 + xy)y 0 + y 2 = 0.
y = e−t
)
x = t ln(t)
(7)
; y 0 ln(y 0 /4) = 4x.
y = t2 (2 ln(t) + 1)
(8) x3 − 4x2 y + 2xy 2 − y 3 = 0; (3x2 − 8xy + 2y 2 )dx − (4x2 − 4xy + 3y 2 )dy = 0
c
dx
1
.
(9) y 3 = + 3 ; xy 2 dy + y 3 dx =
x x
x
p
dy
x+y
(10) arctan(y/x) − ln(c x2 + y 2 ) = 0;
=
.
dx
x−y
2. Si y 0 = y 2 − 1, verificar que
1 + ce2x
es solución general.
1 − ce2x
(b) Explicar porque y = −1 es solución singular.
(a) y =
3. Dada una curva y = y(x), sea LT (x) la longitud de la recta tangente entre el punto
P = (x, y(x)) y su punto de intersección T con el eje OX.
(a) Demuestre que
LT (x) =
y(x) p
1 + y 0 (x)2 .
y 0 (x)
(b) Si a es una constante no nula, encuentre la ecuación diferencial de la familia de curvas
que verifican
LT (x) = a(y(x))2 .
(c) Demuestre que la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas del item
b) está dada por
y(x) =
1
cosh(ax + b), b ∈ R.
a
4. Para las siguientes familias de curvas, haga lo siguiente:
(a) Escriba la ecuación diferencial que describe la familia.
(b) Haga lo mismo para la familia ortogonal.
(c) Con un poco de ingenio, descubra la ecuación de la familia ortogonal.
(d) Grafique ambas familias.
1
(1) Familia de cı́rculos tangentes al eje OY en el origen x2 + y 2 = 2cx, c ∈ R.
(2) Las rectas que pasan por el punto (1,2).
(3) Las curvas tales que la normal al gráfico por el punto (x, y(x)) corta al eje OX en el
punto (2x, 0).
5. Se desea graficar la función y(x) = y = e
−x2
Z
x
2
et dt, para x ≥ 0.
0
(a) Observe que la pendiente de cualquier solución de la ecuación diferencial es constante
a lo largo de ciertas hipérbolas. (ver 1.(3))
(b) Derive la ecuación diferencial ordinaria para determinar las regiones del plano donde
las curvas integrales son convexas y cóncavas, respectivamente.
(c) Grafique las curvas integrales de la EDO, destacando y.
(d) Conjeture el valor de lim y(x).
x→∞
6. Resuelva las siguientes ecuaciones con integración directa:
(1) (1 + x2 )y 0 = arctan(x).
(2) y 0 = x sen(x).
(3) y 0 = (x + 1)2 .
dy
= x + 6.
(4) (x + 1) dx
dy
(5) ex dx
= 2x.
7. Resuelva las siguientes ecuaciones mediante separación de variables:
(1) yy 0 − x = xy 2 .
(2) y 0 = 1 + x + y + xy.
(3) x3 e2x
2
+2y 2
dx − y 3 e−x
2
2
−2y 2
dy = 0.
2
(4) (4y + yx )dy − (2x + xy )dx = 0.
dy
xy + 3x − y − 3
(5)
=
.
dx
xy
− 2x +√4y − 8
p
(6) x 1 + y 2 + yy 0 1 + x2 = 0.
2
(7) xydx + (x2 + 1)ey dy = 0.
(8) (1 + x2 + y 2 + x2 y 2 )dy = y 2 dx.
x dy
2y 2 + 1
(9)
=
.
y dx
x+1
y
(10) e sen(2x)dx + cos(x)(e2y − y)dy = 0.
8. Responda a los siguientes planteamientos:
(a) Sea I un intervalo y suponga que f : I → R es una función diferenciable tal que si
f (x) > 0 entonces f 0 (x) < 0. Pruebe que si f (x0 ) ≤ 0 para algún x0 ∈ I, entonces
f (x) ≤ 0 para todo x ∈ I tal que x > x0 .
(b) Suponga que y : [0, ∞) → R es una función diferenciable que satisface la ecuación
diferencial y 0 (x) = y(x)2 − x y que y(x0 )2 < x0 para algún x0 . Pruebe que y(x)2 < x,
∀x ≥ x0 . (Sug. Adaptar el resultado del punto anterior).
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