El método de separación de variables

El método de separación de variables
En esta sección introduciremos el método de separación de variables, que es un método fundamental y potente para obtener soluciones de ciertos problemas que implican ecuaciones en derivadas
parciales. Aunque la clase de problemas a los que se les puede aplicar este método es limitada, incluye
no obstante muchos casos de gran interés fı́sisco.
La ecuación de ondas
Supongamos que tenemos una cuerda elástica de tamaño L, sujeta en sus extremos a los puntos
x = 0 y x = L, y que se suelta en t = 0 desde una posición inicial que viene dada por la función f (x)
y una velocidad inicial dada, en cada punto del intervalo 0 ≤ x ≤ L, por la función g(x). La vibración
de la cuerda dará lugar a un desplazamiento que vendrá dado por una función y(x, t) a calcular.
Supondremos que la cuerda es perfectamente flexible, de densidad lineal ρ constante y que la
tensión T es constante para todo t. Supondremos que cada punto de la cuerda se mueve sobre una
recta perpendicular al eje x y que el desplazamiento, y, en cada punto es pequeño en comparación con
la longitud de la cuerda, siendo pequeño también el ángulo que forma la cuerda en cada punto con el
eje x. Finalmente, supondremos que no actuan fuerzas exteriores sobre la cuerda.

2
∂2y

2∂ y


=
α


∂x2
∂t2







y(0, t) = 0,
(α2 =
T
)
ρ
0≤t<∞

y(L, t) = 0, 0 ≤ t < ∞





y(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L




∂y(x, 0)


= g(x), 0 ≤ x ≤ L
∂t
Suponemos que la ecuación admite una solución de la forma
y(x, t) = X(x).T (t)
calculamos las correspondientes derivadas parciales
∂2y
d2 X
=
T
(t)
∂x2
dx2
y
1
∂2y
d2 T
=
X(x)
∂t2
dt2
que llevadas a la ecuación nos da
α2 T (t)
d2 X
d2 T
=
X(x)
dx2
dt2
es decir
α2 T X 00 = XT 00 ⇒ α2
X 00
T 00
=
X
T
X 00
T 00
sólo depende de x (es independiente de t) y
sólo depende de t (es independiente de x),
X
T
por lo que la única posibilidad de que se de la igualdad es que
pero α2
α2
X 00
T 00
=k=
X
T
(k ≡ constante)
lo que nos lleva a las ecuaciones diferenciales
X 00 −
k
X=0
α2
T 00 − kT = 0
Consideremos ahora las condiciones de contorno
y(0, t) = X(0)T (t) = 0
0≤t≤∞
y(L, t) = X(L)T (t) = 0
0≤t≤∞
Dado que T (t) = 0 nos llevarı́a a la solución trivial y(x, t) = 0, hemos de exigir que X(0) = 0 y
X(L) = 0. Este hecho nos conduce a la resolución del problema de Sturm-Liouville
 2
k
d X


− 2X = 0

2



donde λ = −
dx
α
X(0) = 0, X(L) = 0
k
, y como α2 > 0 todo dependerá de k. Comprobar usando la trasformada de Laplace
α2
que:
1. Si k = 0, entonces no existe solución distinta de la trivial.
2. Si k > 0, entonces no existe solución distinta de la trivial.
3. Si k < 0, entonces obtenemos las soluciones
Xn (x) = cn sen(
para los valores de k = −
n2 π 2 α2
L2
nπ
x)
L
(n = 1, 2, 3...).
2
(n = 1, 2, 3....)
Resolvamos ahora la ecuación diferencial que debe satisfacer T (t), pero ahora sólo para los
valores de k que han aportado soluciones X(x), es decir
T 00 +
n2 π 2 α 2
T =0
L2
(n = 1, 2, 3...)
Comprobar, usando nuevamente Laplace, que para cada valor de n tendremos como solución general
de la ecuación
Tn (t) = cn,1 sen(
nπα
nπα
t) + cn,2 cos(
t)
L
L
Por lo tanto, para cada n = 1, 2, 3, .... obtendremos la solución
yn (x, t) = Xn (x)Tn (t) = [cn sen(
nπ
nπα
nπα
x)][cn,1 sen(
t) + cn,2 cos(
t)]
L
L
L
si tomamos an = cn cn,1 y bn = cn cn,2
yn (x, t) = [sen(
nπα
nπα
nπ
x)][an sen(
t) + bn cos(
t)]
L
L
L
(n = 1, 2, 3, ....)
Hemos de imponer ahora las dos condiciones iniciales
y(x, 0) = f (x),
∂y(x, 0)
= g(x),
∂t
0≤x≤L
0≤x≤L
En genral ninguna de las soluciones yn (x, t) verifica por sı́ sola estas condiciones
yn (x, 0) = bn sen
nπx
= f (x),
L
0≤x≤L
nπx
.
L
Algo similar ocurre con las combinaciones finitas de las yn (x, t). Tomemos entonces la suma de
esto es imposible a menos que f (x) sea una función sinusoidal de la forma A sen
las infinitas yn (x, t).
y(x, t) =
∞
X
n=1
yn (x, t) =
∞
X
[sen(
n=1
nπ
nπα
nπα
x)][an sen(
t) + bn cos(
t)] ;
L
L
L
Imponemos que y(x, 0) = f (x),
∞
X
n=1
y(0, t) = y(L, t) = 0
0≤x≤L
bn sen(
nπ
x) = f (x),
L
0≤x≤L
Esto pone de manisfiesto que si queremos resolver el problema hemos de buscar la manera de
desarrollar la función f (x) en una serie de senos.
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Si imponemos ahora que
∂y(x, 0)
= g(x), 0 ≤ x ≤ L
∂t
∞
X
nπ
nπα
nπα
∂y(x, t)
nπα
=
][sen( x)][an cos(
t) − bn sen(
t)]
[
∂t
L
L
L
L
n=1
∞
X
∂y(x, 0)
an nπα
nπ
=
sen( x) = g(x),
∂t
L
L
n=1
Haciendo An =
0≤x≤L
an nπα
(n = 1, 2, 3, ....)
L
∞
X
An sen(
n=1
nπ
x) = g(x),
L
0≤x≤L
lo que pone de manifiesto el mismo problema para g(x).
Aplicar el método de separación de variables a los siguientes problemas.
La ecuación de Laplace (problema de Dirichlet para un rectángulo)
 2
∂ u ∂2u



+ 2 =0


∂x2
∂t





)












u(0, t) = 0
0≤t≤b
u(a, t) = 0
)
u(x, 0) = 0
0≤x≤a
u(x, b) = f (x)
(a > 0, b > 0)
El problema de Dirichlet para un cı́rculo

1
1


 urr + ur + 2 uθθ = 0
r
r



u(a, θ) = f (θ)
0≤r<a
−π ≤θ <π
u(r, θ) periódica en θ de periodo 2π y acotada para r ≤ a.
La ecuación del calor
Considérese ahora un problema de conducción de calor para una barra recta de sección transversal uniforme y material homogéneo. Se elige como eje x el largo del eje de la barra y sean x = 0 y x = l
los extremos de la barra. Supóngase además que los extremos de la barra están perfectamente aislados, es decir, no dejan pasar calor. Considérese también que las dimensiones de la sección transversal
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son tan pequeñas que la temperatura u puede considerarse constante en cualquier sección transversal
dada. Entonces, u es función sólo de x y t.
α2 uxx = ut ,
0 < x < l,
t>0
α2 se denomina constante de difusibilidad térmica (sólo depende del material del que está hecha la
k
barra), y su valor viene dado por α2 =
; siendo k la conductividad térmica, ρ la densidad y s el
ρs
calor especı́fico del material.
Además supondremos que la distribución inicial de la temperatura viene dada por una función
f (x), es decir, u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ l; y que los extremos de la barra se mantienen a temperatura
fija (en particular a cero). u(0, t) = 0 = u(l, t) (t > 0).
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