Examen Parcial 2 Cálculo 2 Problema 1 (18 puntos). Calcula las

Examen Parcial 2
Cálculo 2
Problema 1 (18 puntos). Calcula las siguientes integrales.
Z
tan x sec3 xdx
1.
Solución.
Z
3
Z
tan x sec xdx =
tan x sec x sec2 xdx =
1
sec3 x + C,
3
porque la derivada de sec x es tan x sec x.
Z
x
√
2.
dx
x−1
Solución. Consideramos el cambio de variable u =
x = u2 + 1
y
√
x − 1. Entonces
dx
= 2u,
du
por lo que entonces
Z 2
Z
Z
1
x
u +1
2
3
√
dx =
· 2udu = 2 (u + 1)du = 2 u + u + C
u
3
x−1
√
2
= (x − 1)3/2 + 2 x − 1 + C.
3
Z
3.
3
(x2 − 6x + 10)−3/2 dx
0
Solución. Observamos que x2 − 6x + 10 = (x − 1)3 + 1, por lo que entonces, si
x = 3 + tan θ,
x2 − 6x + 10 = (x − 1)3 + 1 = tan2 θ + 1 = sec2 θ, y
Z
Z
Z
2
−3/2
2
−3/2
2
(x − 6x + 10)
dx = (sec θ)
sec θdθ = cos θdθ = sen θ + C
x−3
=p
+ C,
(x − 3)2 + 1
y por lo tanto
Z
3
2
−3/2
(x − 6x + 10)
0
x−3
3
3
dx = p
=√ .
2
10
(x − 3) + 1 0
1
Problema 2 (6 puntos). Escribe la ecuación
r=
1
cos θ + sen θ
en coordenadas rectangulares, e identifica la curva que describe.
Solución. La ecuación es equivalente a
r cos θ + r sen θ = 1,
y, como x = r cos θ y y = r sen θ, tenemos la ecuación
x + y = 1,
la cual describe una recta que cruza los ejes en (1, 0) y (0, 1).
Problema 3 (6 puntos). Escribe la ecuación
x4 + 2x2 y 2 + y 4 + 2x2 y + 2y 3 = x2
en coordenadas polares, e identifica la curva que describe.
Solución. Notamos que la ecuación es equivalente a
(x2 + y 2 )2 + 2(x2 + y 2 )y = x2
y, entonces, en coordenadas polares es
r4 + 2r2 · r sen θ = r2 cos2 θ.
r = 0 representa sólo un punto en el origen, ası́ que tenemos
r2 + 2r sen θ = cos2 θ.
Completamos el cuadrado sumando sen2 θ en ambos lados de la ecuación, y obtenemos
r2 + 2r sen θ + sen2 θ = cos2 θ + sen2 θ,
la cual es equivalente a
(r + sen θ)2 = 1,
que tiene dos soluciones
r = 1 − sen θ
r = −1 − sen θ.
y
Ambas ecuaciones describen una cardioide soportada sobre el eje y, con su depresión en la
parte superior.
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